극방정식을 데카르트 xy-평면에 그리기

$r=f(\theta)$로 정리된 극방정식(polar equation)을 보고 단박에 어떤 곡선인가 알아채는 일은 매우 어렵다. 극방정식이 나타내는 곡선을 $xy$-평면에 그리는 방법을 정리해 보자. $\theta$에 따라 결정되는 $r$ 값을 표로 그리고 평면에 점 $(r, \theta)$을 찍어서 나타낼 수 있다. 

1. 먼저 $r=f(\theta)$를 직교하는 $r\theta$-평면에 그린다.

2. 그래프에 있는 적당한 점을 $xy$-평면에 옮겨 그린다.

보기 $r^2=\sin2\theta$를 그려보자.

먼저 $r^2=\sin f(\theta)$를 직교하는 $r^2\theta$-평면에 그린다.

그림 (a)와 같이 주기가 $\pi$인 그래프가 나타난다.

$r^2 \geq 0$이므로 음수인 부분은 나올 수 없다.

아래를 지운다.

정리하면 $r=\pm\sqrt{\sin 2\theta}$이므로 

(a) 그림에서 약간 위쪽으로 볼록하게 $r\theta$-평면에 그린 다음 $\theta$축에 대칭인 그래프를 그린다.

(b)와 같은 꼴을 얻는다.

이제 $r=0$인 점을 극(pole)로 모은다고 생각하면서 $xy$-평면에 그래프를 그린다.

이때, $\theta$가 증가하는 방향으로 그래프 방향이 정해진다. 

점 $P(r, \theta)$를 대칭이동한 점은 아래와 같음을 생각하자.

1) $x$축에 대칭인 점 $P^{\prime}(r,-\theta)$

2) $y$축에 대칭인 점 $P^{\prime}(r,\pi-\theta)=P^{\prime}(-r,-\theta)$

3) 원점에 대칭인 점 $P^{\prime}(r,\pi+\theta)=P^{\prime}(-r,\theta)$

위에 적은 것을 바탕으로 $r=\sin 2\theta$를 $xy$-평면에 그려 보자.

먼저 $r\theta$-평면에 그리면 아래와 같다.

그래프 위에 있는 점이 어떤 사분면에 있는가 생각해 보면 아래와 같은 그래프가 되는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

움직이는 그림으로 나타내면 아래와 같다.