11.5 극좌표에서 넓이와 곡선 길이 구하기

극좌표로 표현된 곡선이 있을 때 영역 넓이와 곡선 길이를 구하는 방법을 알아 보자.

데카르트 좌표에서 넓이와 곡선 길이 구하는 방법과 같지만 공식으로 정리하면 조금 차이가 있다.

넓이 구하기

그림에서 $\theta=\alpha$와 $\theta=\beta$ 그리고 곡선 $r=t(\theta)$를 경계로 하는 영역의 넓이를 구하자.

극좌표에서는  $\angle TOS$를 잘게 나눈 분할 $P$를 생각하고 이에 따라 잘리는 영역과 넓이가 아주 가까운 부채꼴을 만들어 근삿값을 구한다고 생각하면 된다.

중심각이 $\theta_k$ 반지름 $r_k=f(\theta_k)$인 부채꼴을 생각하는 것이다.  

$$A_k =\frac{1}{2}r_k^2 \Delta \theta_k =\frac{1}{2}(f(\theta_k))^2\Delta \theta_k$$

영역 $OTS$의 넓이 $A$는 아래처럼 나타낼 수 있다.

$$A\approx\sum_{k=1}^{n} A_k =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(f(\theta_k))^2\Delta \theta_k$$

$$A=\lim_{||P||\rightarrow0}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(f(\theta_k))^2\Delta \theta_k$$

정리하면 원점과 곡선 $r=t(\theta),\quad \alpha \leq\theta\leq \beta$ 사이에 있는 영역의 넓이 

$$A=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}(f(\theta))^2 d \theta$$

이를 넓이 미분(area differential)으로 나타내면 아래와 같다.

$$d A= \frac{1}{2} r^2 d \theta =\frac{1}{2}(f(\theta))^2 d \theta$$

자연스럽게 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 $0\leq r_1(\theta)\leq r\leq r_2(\theta),\quad \alpha \leq\theta\leq \beta$ 는 아래와 같음을 알 수 있다.

$$A=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}(r_2^2-r_1^2 )d\theta$$

곡선 길이 구하기

곡선 길이는 매개변수로 표현된 곡선에서 쓰는 공식을 그대로 쓰면 된다.

$$x=r\cos\theta=f(\theta)\cos \theta,\quad y=r\sin\theta=f(\theta)\sin \theta$$

$$\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin \theta$$

$$\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos \theta$$

이므로

$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{d\theta}\bigg)^2 +\bigg(\frac{dy}{d\theta}\bigg)^2 }d\theta$$

정리하면

$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2 +\bigg(\frac{dr}{d\theta}\bigg)^2 }d\theta$$