2016학년도 수시모집 카이스트 면접문제

문제1  2이상인 자연수$n$에 대하여 $0\leq x\leq 1$에서 정의된 함수 $$f_n (x)=\frac{nx(1-x)^n}{1+(nx-1)^2}$$가 있다.

1) $\displaystyle{\frac{d}{dx}f_n(x)=0}$이 되는 $x$가 0과  1 사이에 존재함을 보이시오(2점)

2) $\displaystyle{g_n(x)=nx(1-x)^n,\;\; ,h_n(x)=\frac{1}{1+(nx-1)^2},\;\;0\leq x \leq 1}$ 이라 할 때, 함수 $g_n(x)$와 $h_n(x)$의 증가, 감소 구간을 구하시오(3점)

3) $f_n (x)$가 $x=a_n$에서 최댓값을 가진다고 하자. 문제 2)의 결과를 이용하여 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(a_n)}$을 구하시오(5점)

풀이

1) $f_n(0)=f_n(1)=0$이고 $f_n$는 닫힌구간 $[0,1]$에서 연속이고 열린구간 $(0,1)$에서 미분가능하다. 따라서 롤의 정리에 따라 $\displaystyle{\frac{d f_n (x)}{dx}}=0$인 $x$가 적어도 하나 존재한다.

2) $$g ^{\prime} (x)=n(1-x) ^{n} +n ^{2} x(1-x) ^{n-1} (-1)=n(1-x) ^{n-1} (1-x-nx)=0$$이므로 함수 $g_n(x)$는  $\displaystyle{0 \leq x \leq \frac{1}{n+1}}$에서 증가 $\displaystyle{\frac{1}{n+1}\leq x \leq 1}$에서 감소한다.

또한 $\displaystyle{h ^{\prime} (x)=\frac{-2n(nx-1)}{(1+(nx-1)^2 )^2}}$이므로 함수 $h_n(x)$는 $\displaystyle{0 \leq x \leq \frac{1}{n}}$에서 증가 $\displaystyle{\frac{1}{n}\leq x \leq }$에서 감소한다.

3) 2)에 의하여 $f_n(x)$가 $a_n$에서 최댓값을 가진다고 하면 $$\frac{1}{n+1}\leq a_n \leq \frac{1}{n}$$이다. 따라서
$f_n(a_n)$은 $\displaystyle{x\in\bigg[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\bigg]}$일 때, $g_n(x)\times h_n(x)$의 최댓값과 같은데 이 값은 두 함수의 최댓값의 곱보다 작고 최솟값의 곱보다 크다.

$$ g _{n} \bigg( \frac{1}{n} \bigg)  \times h _{n} \bigg( \frac{1}{n+1}\bigg) \leq g _{n} (x) \times h _{n} (x) \leq g _{n} \bigg( \frac{1}{n+1}\bigg) \times h _{n} \bigg( \frac{1}{n}\bigg)$$

 

문제 2  중심이 원점이고 초점이 $x$축 위에 있는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$이고 단축의 길이가 $2b$일 때, 이 타원을 $E_{a,b}$라고 하자.($a>b>0$)

1) 음함수의 미분법을 이용하여 타원  $E_{a,b}$ 위의 점 $(x_0 ,y_0)$에서의 접선의 방정식을 구하시오(2점)

2) 타원 $E_{a,b}$ 밖의 점 $P_1 =(x_1 ,y_1 )$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오(3점)

3) 어떤 실수 $t_1$에 대하여 $P_1 =(2a\cos t_1 ,2b\sin t_1 )$이라고 하자. $P_1$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 구하시오. 또한, 세 꼭짓점이 모두 타원  $E_{2a,2b}$위에 있고 세 변이 모두 타원 $E_{a,b}$와 접하는 삼각형을 구하시오(5점) 

풀이

타원 $E_{a,b}$의 방정식은 $b^2 x^2 +a^2 y^2 =a^2 b^2$이다.
음함수의 미분법으로 미분하면

$$2b^2 x+2a^2 y \frac{dy}{dx}=0$$

$$\frac{dy}{dx}=-  \frac{b^2 x}{a^2 y}$$
따라서 $(x_0 ,y_0 )$에서 접선의 기울기는 $$\frac{dy}{dx} \bigg|_{(x_0 ,y_0 )}= - \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$$
이다. 따라서 접선의 방정식은

$$y-y_0 =- \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}(x-x_0 )$$

정리하면

$$b^2 x_0 x+a^2 y_0 y=a^2 b^2$$

2) 먼저 점 $P_1 =(x_1 ,y_1 )$에서 타원 $E_{a,b}$에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 각각 $ A(x_0 ,y_0 ),\;\;B(x_2 ,y_2 )$라고 하자.

1)에 따라 두 접선은 각각 $$b^2 x_0 x+a^2 y_0 y=a^2 b^2 ~,~b^2 x_2 x+a^2 y_2 y=a^2 b^2$$
이다.
이 두 직선이 모두 $P_1 =(x_1 ,y_1 )$을 지나므로

$$b^2 x_0 x_1 +a^2 y_0 y_1 =a^2 b^2 ~,~b^2 x_2 x_1 + a^2  y_2  y_1 = a^2 b^2$$
이 성립한다.

이 두 방정식은 직선 $b^2 x_1 x+a^2 y_1 y=a^2 b^2$이 두 점 $A(x_0 ,y_0 ),\;\;B(x_2 ,y_2 )$을 지나는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 따라서 두 접점을 지나는 직선의 방정식은 $b^2 x_1 x+a^2 y_1 y=a^2 b^2$이다.

3) 2)에서 구한 바를 활용하면 점 $P_1 =(2a \cos t_1 ,2b \sin t_1)$에서 그은 두 접점을 지나는 직선의 방정식은
$$b^2 2a( \cos t_1 ) x+ a^2 2b( \sin t_1 ) y=a^2 b^2$$이다. 정리하면 $$2b ( \cos t_1 )x+2a( \sin t_1 )y=ab$$
이다.

한편, 접점은 타원  $b^2 x^2 +a^2 y^2 =a^2 b^2$위의 점이므로 $(a \cos t_2 , b \sin t_2 )$라고 놓을 수 있다. 이 점이 위에 적은 직선 위에 있으므로 $$2b \cos t_1 a \cos t_2 +2a \sin t_1 b \sin t_2 =ab$$
이고 이를 정리하면

$$\cos t_1 \cos t_2 +\sin t_1 \sin t_2 = \frac{1}{2}$$
이다.

삼각함수의 덧셈정리에 따라
$$\cos(t_1 -t_2 )= \frac{1}{2}$$이므로 $$t_1 -t_2 =\pm\frac{\pi}{3}$$이다.

따라서 두 접점을 구하면 $$\big(a \cos \bigg(t_1 \pm\frac{\pi}{3} \bigg), \;\;b \sin \bigg(t_1 \pm\frac{\pi}{3}\bigg)\bigg)$$이다.
반지름이 각각 $r,2r$인 두 원을 생각하면 큰 원에 내접하고 작은 원에 외접하는 정삼각형이 존재한다. 이 두 원을 주어진 타원으로 아래와 같이 변환하면 문제에서 요구하는 삼각형을 그릴 수 있다.

$$x^{\prime}= \frac{r}{a}x,\;\;y^{\prime}= \frac{r}{b}y$$

또 다른 방법은 위에서 구한 접선의 방정식을 활용하는 것이다. 타원  $E_{a,b} $ 위의 점 에$(a \cos t_2 , b \sin t_2 )$서의 접선의 방정식은

$$b( \cos t_1 ) x +a( \sin t_1 ) y=ab$$

이다. 이 접선이 타원 $E_{2a,2b}$와 만나는 점을 $P =(2a \cos t ,2b \sin t)$라고 하면

$$t=t_2 \pm\frac{\pi}{3}$$

점  $(a \cos t_2 , b \sin t_2 )$은 타원 $E_{2a,2b}$이 만나는 두 점의 중점이다. 따라서 타원   $E_{2a,2b}$ 위의 점에서 타원 $E_{a,b}$ 에 그은 접선이 타원 $E_{2a,2b}$와 만나는 점을 연결하면 문제에서 요구하는 삼각형을 얻을 수 있다.