2015학년도 수시모집 카이스트 면접문제::::수학과 사는 이야기

문제 $1,2,4,8,\cdots$인 등비수열을 생각하자.
1) $n$항까지 수의 합을 $S_n$이라 할 때, $S_{2014}$는 얼마인가?

2) $n$항까지 수 중 5로 나누어 나머지가 1인 수만 합한 것을 $T_{n}$이라 하자. $T_{2014}$는 얼마인가?

3) $\displaystyle{\frac{T_{n}}{S_{n}}}$은 $n$이 무한대로 갈 때 수렴하겠는가?

풀이

1) 주어진 수열은 첫째 항이 $1$이고 공비가 $2$이므로 합은 $S_{2014}=2^{2014}-1$

2) $2^4$은 5로 나눈 나머지가 1이므로 5로 나눈 나머지가 $1$인 항은 $2^{4(m-1)}$의 꼴이다. (단 $m$는 자연수)

따라서, $n=4(k-1)+1=4k-3$일 때이다.

$2014=4\times503+1$므로 $T_{2014}$는 첫째항이 1이고 공비가 $2^4$인 등비수열의 504항까지의 합이
다.

$$T_{2014}=\frac{(2^4)^{504}-1}{2^4 -1}=\frac{1}{15}(2^{2016}-1)$$
3) $S_{n}=2^{n}-1$이고 $T_{n}$은 $n$을 4로 나눈 몫과 나머지에 따라 달라진다.

$n=4k+r\;\;(r=0,1,2,3)$의 꼴이라고 하자.

1) $r=0$일 때,

$$T_{n}=\frac{(2^4)^{k}-1}{2^4 -1}=\frac{1}{15}(2^{n}-1)$$이므로 $\displaystyle{\frac{T_{n}}{S_{n}}}=\frac{1}{15}$이다.

2) $r=1,2,3$일 때,
$$T_{n}=\frac{(2^4)^{k+1}-1}{2^4 -1}=\frac{1}{15}(2^{4k+4}-1)=\frac{1}{15}(2^{n-r+4}-1)$$이므로 $\displaystyle{\frac{T_{n}}{S_{n}}}=\frac{1}{15}\times \frac{2^{n-r+4}-1}{2^{n}-1}$이다.

따라서 $r$에 따라 서로 다른 극한값을 가지므로 수열 $\displaystyle{\frac{T_{n}}{S_{n}}}$은 진동한다. 그러므로 수렴하지 않는다.

이 문제는 수열의 수렴과 발산을 이해하고 있는가를 평가하려고 출제한 것이다. 고등학교에서는 수열의 극한은 아래와 같이 정의하였다.

“수열 $\{a_{n}\}$에서 $n$이 한없이 커질 때, $a_{n}$의 값이 일정한 상수 $L$에 한없이 가까워지면 이 수열 $\{a_{n}\}$은 $L$로 수렴한다.”

$\pm\infty$로 발산함은 쉽게 보일 수 있으므로 주로 진동하는 수열을 묻는다.

이때, 아래 정리를 생각하면 쉽게 접근할 수 있다.

어떤 수열이 수렴하면 모든 부분수열은 같은 극한값을 가진다.

부분수열이 발산하거나 서로 다른 극한값을 가지면 원래의 수열은 발산(진동)한다. 예를 들어 수열 $\{a_{n}\}$이 $1,0,1,0,1,0,\cdots$라면 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_{2m-1}=1,\;\;\lim_{n\rightarrow \infty}a_{2m}=0$임을 밝혀서 쉽게 설명할 수 있다.

15분이란 시간에 풀이를 모두 적으며 설명하는 것은 어렵다. 따라서 풀이를 요약 정리하여 말로 설명해야 한다.

1)번은 첫째항과 공비만 밝히고 바로 답을 밝히는 것이 좋겠다. 2번도 마찬가지로 간단하게 설명하면 된다. 2)번 풀이를 통해 을 4로 나눈 나머지에 따라 $T_{n}$이 결정됨을 설명하고 주어진 수열 $\displaystyle{\frac{T_{n}}{S_{n}}}$이 진동하므로 극한값이 존재하지 않는다고 밝히면 된다. 면접관이 더 자세한 설명을 요구하거나 필요할 때만 풀이에서 중요한 식을 적는다. 일반적으로 적는 것이 어렵다면 나머지가 1인 경우와 같이 특수한 예로 설명하고 일반화하면 된다고 설명하면 된다. 면접관은 수학을 전공하였고 문제를 이미 풀어보았으므로 너무 자세한 설명은 필요 없다.