2019학년도 수능 수학 30번

많이 늦었지만 올해 수학 수능 30번 문제 풀이를 올려둔다. 늘 그렇듯 올해도 30번은 엄청나게 어렵다. 어떻게 이런 문제를 만들었을까도 궁금한 정말 복잡한 문제다. 이걸 풀어낸 수험생에게 경의를 표한다.

30. 최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{2+\sin(f(x))}}$이 $x= \alpha$에서 극대 또는 극소이고 $\alpha \geq 0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_1 ,\alpha_2 , \alpha_3 ,\alpha_4 , \alpha_5 , \cdots$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) $\alpha_1 =0$이고 $\displaystyle{g(\alpha_1 )=\frac{2}{5}}$

(나) $\displaystyle{\frac{1}{g(\alpha_5 )}=\frac{1}{g(\alpha_2 )}+\frac{1}{2}}$

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$\displaystyle{g^{\prime}\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)=a\pi}$라 할 때, $\alpha^2$의 값을 구하시오.

(단, $\displaystyle{0<f(0)< \frac{\pi}{2}}$) [4점]

풀이)

먼저 함수 $g$의 극값을 찾기위해 $g^{\prime}=0$인 점을 생각해 보자.

$$g^{\prime}(x)=-\frac{\cos(f(x))f^{\prime}(x)}{(2+\sin(f(x))^2}=0\tag{1}$$

따라서 $\cos(f(\alpha))=0$ 또는 $f^{\prime}(\alpha)=0$인 $\alpha$를 찾으면 된다.

$\cos(f(\alpha))=0$에서 

$$f(\alpha)=\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2},\pm \frac{5\pi}{2},\cdots$$

조건 (가)에서 $\alpha_1=0$, 

$$g(\alpha_1)=g(0)=\frac{1}{2+\sin(f(0))}=\frac{2}{5}$$

이다. 정리하면 $\displaystyle{\sin(f(0))=\frac{1}{2}}$이다. $\displaystyle{0<f(0)< \frac{\pi}{2}}$이므로

$$f(0)=\frac{\pi}{6}\tag{2}$$

$\displaystyle{\cos(f(0))=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\not=0}$이므로 $$f^{\prime}(0)=0\tag{3}$$이다.

$f(x)$는 (3)을 만족시키고 3차항 계수가 $6\pi$인 다항함수이므로 아래와 같이 놓을 수 있다.

$$f^{\prime}(x)=18\pi x(x-k)$$

적분하여 정리하고 (2)를 만족시키는 상수를 찾으면

$$f(x)=6\pi x^3-9\pi k x^2 + \frac{\pi}{6}$$

그래프 개형은 아래와 같다.

그림1

그림2

이제 조건 (나)를 살펴보자.

$\displaystyle{\frac{1}{g(\alpha_5 )}-\frac{1}{g(\alpha_2 )}=\sin(f(\alpha_5))-\sin(f(\alpha_2))=\frac{1}{2}}$

$f^{\prime}(\alpha)\not=0$이면 $\cos(f(\alpha))=0$이므로 $\sin(f(\alpha))=-1$ 또는 $\sin(f(\alpha))=1$이다.

그러므로 그림 1과 같은 개형을 가진다면 조건 (나)를 만족시킬 수 없다.

그림 2와 같은 꼴일 때, $\alpha_2=k$ 또는 $\alpha_5=k$이라야 한다.

1) $\alpha_2=k$이면 $\displaystyle{f(\alpha_5)=\frac{5}{2}\pi}$이므로

$$\sin(f(\alpha_5))-\sin(f(\alpha_2))=1-\sin(f(\alpha_2))=\frac{1}{2}$$

$$\therefore \sin(f(\alpha_2))=\frac{1}{2}$$

그러나 $$-\frac{\pi}{2}<f(\alpha_2)<\frac{\pi}{6}$$이므로 만족시키는 $\alpha_2$는 존재하지 않는다.

2) $\alpha_5=k$이면 아래 그림과 같아야 한다.

$$\sin(f(\alpha_5))-\sin(f(\alpha_2))=\sin(f(k))+1=\frac{1}{2}$$

$$\sin(f(k))=-\frac{1}{2}$$

위 그림에서 

$$-\frac{7\pi}{2}<f(k)<-\frac{5\pi}{2}$$

$$f(k)=-3\pi+\frac{\pi}{6}$$

$$6\pi k^3-9\pi k^3 + \frac{\pi}{6}=-3\pi+\frac{\pi}{6}$$

정리하면 $k=1$이다.

$$f(x)=6\pi x^3-9\pi  x^2 + \frac{\pi}{6}$$

이제 다 되었다.

$$f^{\prime}(x)=18\pi x(x-1)$$

$$f^{\prime}\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)=18\pi\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)\bigg(-\frac{3}{2}\bigg)=\frac{27\pi}{2}$$

$$f\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)=-\frac{3}{4}\pi -\frac{9}{4}\pi+\frac{\pi}{6}=-3\pi+\frac{\pi}{6}$$

$$\sin\bigg(f\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)\bigg)=\sin\bigg(-3\pi+\frac{\pi}{6}\bigg)=-\frac{1}{2}$$

$$\cos\bigg(f\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)\bigg)=\cos\bigg(-3\pi+\frac{\pi}{6}\bigg)=-\frac{\sqrt3}{2}$$

처음에 구했던 식 (1)에 대입하여 정리하면 $a$를 구할 수 있다.

$$g^{\prime}\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)=-\frac{\cos\bigg(f\big(-\frac{1}{2}\big)\bigg)f^{\prime}\big(-\frac{1}{2}\big)}{\big(2+\sin\big(f\big(-\frac{1}{2}\big)\big)^2}=-\frac{\big(-\frac{\sqrt3}{2}\big)\times \frac{27\pi}{2}}{\big(2-\frac{1}{2}\big)^2}=3\sqrt3 \pi$$

$$\therefore a^2 =(3\sqrt3)^2=27$$