원론 1권_명제5 이등변 삼각형은 밑각이 서로 같다

명제 5 In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another. 

이등변 삼각형에서 두 밑각은 서로 같다. 변을 연장하면 밑각 아래에 있는 각도 서로 같다.

$\triangle ABC$는 $\overline{AB}=\overline{AC}$인 이등변 삼각형이라고 하자.

이제 $\angle{ABC}=\angle{ACB}$임을 보이자.

먼저 두 변 $\overline{AB},\overline{AC}$을 연장하고 그 위에 $\overline{AE}=\overline{AF}$인 두 점 $E$와 $F$를 잡는다.

$$\overline{AB}=\overline{AC}$$

$$\overline{AE}=\overline{AF}$$

$$\angle{BAC}=\angle{CAB}$$

명제 4에 따라서 두 삼각형은 합동이다.

$$\triangle{ABF}\equiv\triangle{ACE}$$

$$\angle{ABF}=\angle{ACE}\tag{1}$$

이제 $\triangle BEC$와 $\triangle CBF$에서

$$\overline{BE}=\overline{CF}\tag{CN-4}$$

$$\overline{CE}=\overline{BF}$$

$$\angle{BEC}=\angle{CFB}$$

$$\triangle{BEC}\equiv\triangle{CFB}\tag{명제-4}$$

따라서 $$\angle BCE=\angle CBF\tag{2}$$

(1)(2)에 따라서

$$\angle ABF -\angle CBF=\angle ACE-\angle BCE\tag{CN-4}$$

그러므로  $$\angle{ABC}=\angle{ACB}$$

$\blacksquare$

참고 평각이 180도라는 사실을 쓰면 쉽게 보일 수 있다. 하지만 유클리드는 명제 5에 앞서 평각이 모두 같다는 증명을 하지 않아서 위와 같이 조금 복잡하게 증명한 것이다. 

이 명제를 증명하는 그림이 당나귀 다리를 닮았다고 Pons Asinorum로 부른다. '폰스 아시노룸'은 간단함에서 확신을, 느림에서 빠른 생각을, 모호함에서 분명함을 끌어내는 능력을 시험하는 결정적 문제를 은유하는 이름이다. 

파푸스는 삼각형을 들어 올린 다음 뒤집어서 포개는 것으로 증명했다. 

바로 이어지는 명제 6는 이 명제의 역이다. 

'명제 6 두 밑각이 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.'를 증명해 보라.