1권_명제 1 정삼각형 그리기

수학은 엄밀해서 아름답다. 유클리드 원론은 왜 수학이 아름다운가를 보여주는 고전이다. 먼저 책에 쓰일 용어 23개를 정의하고 증명없이 참으로 받아 들이는 공준 5개 공통관념 5개를 적었다. 그 다음 이어지는 모든 명제는 공준과 공통관념으로 증명하고 있다. 

Postulates 공준

공준과 아래 공통 관념을 모두 오늘날은 공리(Axiom)라고 부른다.

Postulate 1. 임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그릴 수 있다.

Postulate 2. 선분을 이어서 직선을 만들 수 있다. 

Postulate 3. 임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다.  

Postulate 4. 모든 직각은 서로 같다. 

Postulate 5. 두 직선과 한 직선이 만날 때 있는 두 직선을 한없이 늘리면 같은 쪽에 있는 내각을 더해서 직각 둘(180도)보다 작은 쪽에서 만난다.

실제로 원을 그릴 때 돌아가던 컴퍼스가 움직여서 반지름이 달라져 원이 제대로 그려지지 않을 때가 많다. 이런 일은 고려하지 않기 위하여 공준 3을 미리 밝혀둔 것이다. 공준 4는 왜 적었을까? 두 직선이 만날 때 이웃하는 각이 같다면 직각이라고 정의하였다. 그런데 직선이 완벽하게 평평하지 않다면 만나는 곳이 달라지면 직각이 달라질 것이다. 이 공리를 넣음으로서 직선은 어느 곳이나 180도로 곧게 뻗어 있음이 보장되는 것이다. 평행선 공준은 더 이야기거리가 많지만 줄인다.

Common Notions 공통 관념

Common notion 1. 똑같은 것과 같은 것들은 서로 같다. 

Common notion 2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 더한 전체는 여전히 같다. 

Common notion 3. 같은 것에서 같은 것을 덜어내어도 그 나머지들은 여전히 같다. 

Common notion 4. 포개어서 같은 것들은 서로 같다. 다시 말해 평행이동이나 대칭이동하여 완전히 포개지는 것들은 서로 같은 것이다. 

Common notion 5. 전체는 부분보다 크다.

명제 1 주어진 선분을 변으로 하는 정삼각형을 만들 수 있다. 

주어진 선분 $AB$를 반지름으로 두 점 $A,B$를 중심으로 하는 두 원을 그릴 수 있다. 두 원의 교점을 $C$라고 하자. [공준 3] 두 점 $A$와 $C$, $B$와 $C$를 잇는 선분을 그릴 수 있다.[공준 2] $\overline{AB}=\overline{AC}$이고 $\overline{AB}=\overline{BC}$이다. 공통관념 1에 따라 $\overline{AC}=\overline{BC}$이다. 정삼각형을 작도하였다. 사실 여기에 살짝 부족함은 있다. 두 원이 교차할 때 만나는 점이 반드시 존재한다고 하려면 선이 완비성을 가지고 있다는 공리가 필요하다. 이 부분은 훗날 수학자가 완비성 공리로 보완하였다.