Sin 1/x 의 극한

함수 $y=\sin (1/x)$는 $x$가 $0$으로 가까워질 때, 극한값을 가지지 않음을 보여라.

 

Sol) $x$가 $0$으로 가까워질 때, $\displaystyle{\frac{1}{x}}$ 한없이 커지거나 작아진다.

$\sin (1/x)$의 값은 $-1$와 $1$ 사이를 오간다,

 

함숫값이 한없이 가까워지는 일정한 상수 $L$이 존재하지 않는다.

$x$가 양의 값을 가지며 가까이 갈 때나 음의 값을 가지며 가까이 갈 때나 마찬가지다. $\blacksquare$

이것을 조금 더 엄밀하게 보이고 싶다면 아래와 같이 적을 수 있겠다.

 

$\forall x$에 대하여 $\displaystyle{-1\leq\sin \frac{1}{x} \leq 1}$이므로 $x\rightarrow 0$일 때, 극한값 $L$이 있다면 $|L| \leq 1$이다.

1) $|L|<1$일 때,

이제 $B= min\{1-L, L+1 \}$이라고 하자.

$\varepsilon={B}/{2}$이면 $|L|+\varepsilon<1$이다.

한편, $\displaystyle{\sin\frac{1}{x}=1}$이라면 $\displaystyle{x=\frac{2}{\pi(4n+1)}}$이다.

$\forall \delta>0$에 대하여 $\displaystyle{0<\frac{2}{\pi(4n+1)}<\delta}$인 $n$이 항상 존재한다.

다시 말하면 $0<|x|<\delta$에는 $\displaystyle{\sin \frac{1}{x}=1}$인 $x$가 $\delta$에 상관없이 존재한다.

아무리 $\delta$를 작게 잡더라도 $0<|x|<\delta$에는 $$\big|\sin \frac{1}{x}-L \big|\geq 1-|L| >\varepsilon$$ 인 $x$가 반드시 존재한다.

2) $|L|=1$일 때.

$\displaystyle{\sin\frac{1}{x}=0}$이라면 $\displaystyle{x=\frac{1}{2n\pi}}$이다.

$\forall \delta>0$에 대하여 $\displaystyle{0<\frac{1}{2n\pi}<\delta}$인 $n$이 항상 존재한다.

다시 말하면 $0<|x|<\delta$에는 $\displaystyle{\sin \frac{1}{x}=0}$인 $x$가 $\delta$에 상관없이 존재한다.

따라서 $\varepsilon= 1/2$이라고 하면 정의를 만족하는 $\delta>0$를 잡을 수 없다.

1) 2)에 따라 극한값이 존재하지 않는다.

$\blacksquare$