정적분으로 일(Work)과 유체가 가하는 힘 구하기

일 구하기

물체가 일정한 힘($F$)이 가해지는 방향으로 직선을 따라 $d$만큼 이동했다고 하자. 이때 일($W$)은 아래와 같이 정의한다.

$$W=Fd$$

힘은 단위가 뉴턴($N$), 길이는 미터($m$)이므로 일은 단위가 $N\cdot m$인데 이것을 줄($J$)로 부른다.

힘이 일정하지 않고 변한다고 하자. 즉, $x$축을 따라 $x=a$에서 $x=b$까지 움직일 때 힘이 연속인 함수 $F(x)$로 주어지면 일은 아래와 같이 정의한다.

$$W=\int_{a}^{b}F(x)dx$$

더 엄밀하게 표현하면 아래와 같이 내적이므로 일은 스칼라이다.

$$W=\int F \cdot ds$$

예제 질량이 2kg인 바구니가 길이가 6m인 밧줄에 매달려 있다. 밧줄을 일정한 속력으로 끌어올리는데 필요한 일을 계산하여라.(미터당 로프 질량은 0.1kg/m)

풀이

바구니를 끌어올리는 데 필요한 일 $W=2\times 9.8 \times 6=117.6J$

밧줄을 끌어올리는 데 필요한 일 $W=\int_{0}^{6}9.8\cdot 0.1(6-x)dx=0.98\bigg[6x- \frac{1}{2}x^2 \bigg]_{0}^{6}=0.98\times 18=17.64J$

그러므로 필요한 일은 $W=117.6+17.64=135.24J$이다.

예제 아래 그림과 같이 직원뿔 모양인 탱크에 물이 8m까지 채워져 있다. 이 물을 퍼내는데 필요한 일을 계산하여라.(물은 무게-밀도 weight-density가 $w$라고 계산하자.)

 

$y$축 위에 분할을 생각하고 얇은 판으로 잘라낸 부피를 생각하자.

$y$와 $y+\Delta y$ 사이 부피는

$$\Delta V=\pi \bigg( \frac{1}{2}y \bigg)^2 \Delta y=\frac{\pi}{4}y^2 \Delta y$$

이다. 따라서 이때 힘은

$$F(y)=w \Delta V$$이다. 탱크 테두리까지 끌어 올려야 하는 거리는 $10-y$이다. 따라서 일은

$$\Delta W=w\cdot \frac{\pi}{4}y^2 (10-y)\Delta y$$이다. 이것을 리만합으로 적으면 아래와 같다.

$$W\approx\sum_{k=1}^{n} w\cdot \frac{\pi}{4}{y_k}^2 (10-y_k )\Delta y_k$$

이 리만합의 극한을 정적분으로 나타내고 계산하면 아래와 같다.

$$W=\frac{\pi}{4}w \int_{0}^{8} (10y^2 -y^3)dy=\frac{\pi}{4}w \bigg[ \frac{10}{3}y^3 -\frac{1}{4}y^4\bigg]_{0}^{8}=\frac{2^9}{3}\pi w$$

유체가 가하는 힘

비슷한 방법으로 유체가 판에 미치는 힘을 구할 수 있다.

무게-밀도가 $w$인 유체가 있을 때, 압력은 깊이 $h$에 비례한다. $$p=wh$$이다.  

또한, 깊이가 $h$인 곳에 일정한 넓이 $A$에 가해지는 힘은 $$F=pA=whA$$이다.

그림과 같이 얇은 판이 수면에 수직으로 유체에 잠겨 있다고 생각하자.

깊이에 따라 넓이가 달라질 때 구간 $[a,b]$에 적당한 파티션을 생각하고 리만합을 구하여 근삿값을 구하면 아래와 같다.

$$F\approx \sum_{k=1}^{n} w\cdot (strip\;\;depth)\cdot L(y_k)\Delta y_k$$

따라서 유체가 판에 가하는 힘은 아래와 같이 정적분으로 정의할 수 있다.

$$F=\int_{a}^{b}w\cdot (strip\;\;depth)\cdot L(y)dy$$

예제 그림과 같이 밑변과 높이가 4m인 이등변 삼각형 모양인 판이 수면에 1m 아래에 수직으로 잠겨져 있다. 판에 미치는 힘을 계산하여라.(단 물의 무게-밀도는 $w$로 계산하기로 하자.)

맨아래 꼭짓점을 원점 $O$로 수면은 $y=5$로 생각하자.

직선 $OB$는 $y=2x$이다.

$L(y)=2\cdot \displaystyle{\frac{y}{2}}=y$일 때 수심은 $(5-y)$이다.

$$F=w\int_{0}^{4}(5-y)y dy= \frac{56}{3}w$$