Exercises 6

Advanced Problem

15. a. Find the centroid of the region in the first quadrant bounded by two concentric circles and the coordinate axes, if the circles have radii a and b, $0<a<b$, and their centers are at the origin.
b. Find the limits of the coordinates of the centroid as $a$ approaches $b$ and discuss the meaning of the result.

풀이 a. 먼저 센트로이드를 $(\overline{x}, \overline{y})$라고 하면 $\overline{x}=\overline{y}$임은 쉽게 알 수 있다.

파푸스 정리를 써서 구하기로 하자.

주어진 영역은 넓이가 $\displaystyle{\frac{\pi}{4}(b^2 -a^2)}$이다.

주어진 영역을 $x$축을 회전축으로 회전한 입체는 부피가

$$V= \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi(b^3 -a^3)$$

이다. 따라서 파푸스 정리에 의해

$$ \frac{2}{3}\pi(b^3 -a^3)=2 \pi \overline{y} \cdot \frac{\pi}{4}(b^2 -a^2)$$

$$\therefore\;\;\overline{x} = \overline{y} =\frac{4(b^2 +ab+a^2)}{3\pi(a+b)}$$

b. $$\lim_{b\rightarrow a}\frac{4(b^2 +ab+a^2)}{3\pi(a+b)}=\frac{4\cdot 3a^2}{3\pi\cdot 2a}=\frac{2a}{\pi}$$

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조금 계산이 복잡하지만 아래 그림을 참고로 질량중심을 구해도 된다.

구간 $[0,a]$에서 $\displaystyle{(\widetilde{x}, \widetilde{y})=\bigg(x,\frac{\sqrt{b^2 -x^2}+\sqrt{a^2 -x^2}}{2}\bigg)}$, 구간 $[a,b]$에서 $\displaystyle{(\widetilde{x}, \widetilde{y})=\bigg(x,\frac{\sqrt{b^2 -x^2}}{2}\bigg)}$를 중심으로 생각하여 적분하면 된다.

$$M=\int dm=\int\delta dA= \frac{\delta}{4}\pi (b^2 -a^2)$$

$$M_x=\int \widetilde {y}dm=\delta\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{b^2 -x^2}+\sqrt{a^2 -x^2}}{2} {(\sqrt{b^2 -x^2}-\sqrt{a^2 -x^2})}dx+\delta\int_{a}^{b} \frac{\sqrt{b^2 -x^2}}{2} {(\sqrt{b^2 -x^2})}dx$$

$$=\frac{\delta}{2}\int_{0}^{a} ({b^2 -a^2})dx+\frac{\delta}{2}\int_{a}^{b} ({b^2 -x^2})dx=\frac{\delta}{3}({b^3-a^3})$$

$$\therefore \;\;\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{4(a^2 +ab+b^2)}{3\pi(a+b)}$$

$\blacksquare$