Integration by parts

8장은 여러 가지 적분법이 망라되어 있다. 곱의 미분법을 생각하면 적분도 부분으로 나누어서 처리할 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 부분 적분으로 다양한 부정적분을 쉽게 찾을 수 있다.

함수가 두 종류가 아니라 한 종류만 있어도 부분 적분으로 해결할 수 있다. 아래는 차수를 낮추는 공식을 설명하고 있다.

연습문제 

$$\int_{a}^{b}\bigg(\int_{x}^{b} f(t)dt\bigg)dx=\int_{a}^{b}(x-a)f(x)dx$$임을 보여라.

$$\frac{d}{dx}\int_{x}^{b} f(t)dt=-f(x)$$이므로 부분 적분으로 간단하게 보일 수 있다.

$$\int_{a}^{b}\bigg(\int_{x}^{b} f(t)dt\bigg)dx= x\int_{x}^{b}f(t)dt \bigg|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}x(-f(x))dx$$

$$=-a\int_{a}^{b} f(t)dt+\int_{a}^{b}xf(x)dx=\int_{a}^{b}(x-a)f(x)dx$$