Monotonic Sequence Theorem

무한수열이 극한값을 가진다는 것은 수열의 항 가운데 유한 개를 뺀 나머지는 모두 극한값 주위에 있음을 뜻한다. 

$n$이 한없이 커질 때, $a_n$이 일정한 수 $L$에 한없이 가까워진다면 수열 $\{a_n\}$은 $L$로 수렴한다고 한다.  기호로 $$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$$이다.

더 엄밀한 정의하면 아래와 같다.

$\forall \varepsilon >0$에 대하여, $\forall n >N$이면 $|a_n -L|<\varepsilon$이 되는 자연수 $N$이 존재하는 것이다.

정의를 확실하게 이해하고 있다면 위에 있는 정리는 아주 쉽게 이해할 수 있다. 계속 늘어나기만 하는데 위쪽이 막혀있다면 당연히 수열이 수렴해야만 한다. 물론 엄밀하게 증명하는 것은 다른 문제이므로 따로 연습을 해야 하지만 말이다.