테일러 정리

테일러 정리

$f$와 $n$계 도함수 $f^{\prime},f^{\prime\prime},\cdots,f^{(n)}$는 모두 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이고, $f^{(n)}$은 열린 구간 $(a,b)$에서 미분가능하다고 하면 아래를 만족하는 적당한 $c$가 구간 $(a,b)$에 존재한다.

$$f(b)=f(x)+f^{\prime}(a)(b-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(b-a)^2 + \cdots+\frac{f^{(n)(a)}}{n!}(b-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}.$$

테일러 다항식은 평균값 정리를 일반화한 것으로 생각하면 된다. 주어진 함수와 아주 비슷한 다항함수를 찾은 것이다.