Apollonian Gasket #1

기하는 재밌다. 아주 우연히 아폴로니안 가스켓을 보았다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_gasket

주어진 세 원에 모두 접하는 계속 그려나가면 얻어지는 프랙탈 도형이다. 규칙이 단순하므로 처음엔 아주 간단할 줄 알았다. 그런데 막상 구하려고 해 보니 영 쉽지 않다. 며칠 고생을 한 끝에 그리는 방법을 알았다. 말 그대로 반전이 있었다. 원에 대칭인 도형을 다루는 반전 기하를 알아야 해결할 수 있다. 아직 반지름을 구하는 데카르트 정리까지는 갈 길이 멀지만 일단 올려둔다.

먼저 쉽게 다가설 수 있는 그림을 그리자.

1. 반지름이 $1$인 원 안에 반지름이 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$인 원을 둘 그리자.

2. 세 원에 동시에 접하는 원은 반지름이 $\displaystyle{\frac{1}{3}}$이다. 여기까지는 쉽다.

3. 붉은 원들이 접하는 세 점을 지나는 파란 원을 그린다.

4. 검은 원 위에 있는 점을 파란 원에 대칭이동하면 세 원에 동시에 접하는 원을 얻는다.(이것이 반전 기하다.)

 

5. 세 원이 서로 접하면 접접을 지나는 원을 그리고 세 원과 접하는 또 다른 원을 반전시켜서 새로운 원을 얻는다.

6. 이 과정을 끊임없이 되풀이하면 아폴로니안 가스켓을 얻을 수 있다.

이렇게 그린 도형은 아래와 같다.

주어진 숫자는 반지름의 역수이다. 이 숫자를 곡률이라고 하는데 이들 사이에 있는 관계를 정리한 식이 바로 데카르트 정리다.

이 정리를 보고 꽂혀서 증명에 나섰다가 이런 일을 벌이고 있다. 이 도형에 꽂힌 사람 짐데네반은 모래 위에 거대한 그림을 그렸다고 한다.

http://jimdenevan.com/project/black-rock-desert-nv-2009/