예술같은 문제 풀이

 

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Circular_Inversion

Art of Problem Solving

아래 그림에서 중심을 지나는 원 위에 있는 점은 모두 직선으로 반전됨을 확인하자.

$$\overline{OP}\cdot\overline{OP^{\prime}}=k^2,\overline{OP}\cdot\overline{OP^{\prime}}=k^2$$

$$\overline{OP}\cdot\overline{OP^{\prime}}=\overline{OP}\cdot\overline{OP^{\prime}}$$

$$\frac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}=\frac{\overline{OQ^{\prime}}}{\overline{OP^{\prime}}}$$

$$\triangle OQP \sim \triangle OP^{\prime}Q^{\prime}$$

$$\angle OQP =\angle OP^{\prime}Q^{\prime}=90^{\circ}$$

반전된 원의 반지름 사이의 관계를 찾아보자. 아래와 같은 관계에 있다.

문제 반지름이 3인 반원이 있다. 지름 위에 중심을 둔 반지름이 각각 2, 1인 두 반원이 접하고 있다. 세 반원과 모두 접하는 원의 반지름을 구하여라.

풀이 아래 그림과 같이 $O$를 중심으로 반지름이 6인 원 $\Omega$을 생각하자.

원 $\Omega$에 주어진 원 $C_k$의 반전인 $C^{\prime}_k$는 그림과 같다. ($k=1,2,3$)

원 $C_4$는 세 원 $C_k$과 접하고 있으므로 $C_4$의 반전 $C^{\prime}_4$은 $C^{\prime}_k$와 모두 접하는 원이다.