조화 진동자 문제 해결

단순 조화진동자(simple harmonic oscillator)

운동을 방해하는 힘이 전혀 없을 때 일어나는 운동을 단순 조화진동자라 한다.

주어진 힘이 $F$만 있다면 훅의 법칙에 따라 아래와 같은 방정식이 성립한다.

$$F=-kx$$

뉴턴 운동법칙에 따라서 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$F=m\mathbf{a}=m\ddot{\mathbf{x}}=-k\mathbf{x}$$

$$\ddot{\mathbf{x}}+\frac{k}{m}\mathbf{x}=0$$

여기서 계산을 편하게 하기 위해 $\displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}}$라고 하면 아래와 같이 간단한 꼴로 정리할 수 있다.

$$\ddot{\mathbf{x}}+\omega^2 \mathbf{x}=0$$

특성 방정식의 해는 $\omega i, -\omega i$이므로 일반해는 아래와 같다.

$$x(t)=c_1 e^{\omega t i}+c_2e^{-\omega t i}=c_1(\cos\omega t+i\sin\omega t)+c_2(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))$$

$$x(t)=(c_1+c_2) \cos\omega t+(c_1i-c_2i)\sin(-\omega t)$$

여기서 $c_1-c_2=C_1,\;\;c_1-c_2i=C_2$라 한다면 일반해를 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$x(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega$$

삼각함수의 덧셈정리로 아래와 같이 합성할 수 있다.

$$A=\sqrt{C_1^2 +C_2^2}\quad \sin \phi=\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 +C_2^2}}$$

$$x(t)=A\sin(\omega t +\phi)$$

힘이 빠지는 운동(damped motion)

힘이 빠지는 비율을 $\displaystyle{\zeta=\frac{\lambda}{\omega}=\frac{\beta}{2\sqrt{mk}}}$라 할 때 그래프는 아래와 같다.

단순한 운동과 마찬가지로 덧셈정리로 삼각함수를 합성한 표현으로 아래와 같이 적을 수 있다.

$$x(t)=Ae^{\lambda t} \sin(\sqrt{\omega^2 -\lambda^2}t+\phi)$$

$$A=\sqrt{c_1^2 +c_2^2},\;\;\sin \phi=\frac{c_1}{A},\;\;\cos\phi=\frac{c_2}{A}$$

힘이 더해지는 운동(forced motion)