볼테라 적분 방정식(Volterra integral equation)

적분 방정식은 적분 기호 안에 모르는 함수가 들어 있는 방정식이다. 그 가운데 널리 알려진 아래 방정식은 볼테라 적분 방정식으로 부른다. $f(t)$는 모르는 함수이고 $g(t),h(t)$는 알려진 함수이다.

$$f(t)=g(t)+\int_{0}^{t} f(t)h(t- \tau) d\tau$$

보기

$$f(t)=3t^2 -e^{-t}-\int_{0}^{t} f(\tau)e^{t-\tau}d \tau$$

풀이 라플라스 변환을 하자.

$$\mathscr{L} \{ f(t) \}=3 \mathscr{L} \{t^2 \}- \mathscr{L}\{ e^{-t} \} - \mathscr{L} \{ f(t) \} \mathscr{L} \{ e^t \}$$

$$\begin{split} F(s) &=3 \cdot \frac{2}{s^2} - \frac{1}{s+1} - F(s)\cdot \frac{1}{s-1} \\ \bigg[ 1+ \frac{1}{s-1} \bigg] F(s) & = \frac{6}{s^3} - \frac{1}{s+1} \\ \frac {s} {s-1} F(s) &= \frac {6} {s^3} - \frac{1}{s+1} \\ F(s) &= \frac {6(s-1)} {s^4} -\frac {s-1} {s(s+1)} \\ &= \frac{6}{s^3} - \frac {6} {s^4} + \frac {1} {s} - \frac {2} {s+1} \end{split}$$

$$\therefore \begin{split} f(t) &= 3 \mathscr{L}^{-1} \bigg \{ \frac{2!}{s^3} \bigg \}- \mathscr{L}^{-1} \bigg \{ \frac{3!}{s^4} \bigg \}+ \mathscr{L}^{-1} \bigg \{ \frac{1}{s} \bigg \}-2 \mathscr{L}^{-1} \bigg \{ \frac{1}{s+1} \bigg \} \\ &= 3t^2 -t^3 +1 -2e^{-t} \end {split}$$