변환과 자코비안 행렬

변수가 하나인 함수를 적분할 때, 다른 변수로 바꿔서 적분하면 편할 때가 많다. 이것을 치환 적분이라 부른다.

$$\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du \quad\quad( u=g(x)\; \iff \;du=g^{\prime}(x)dx)$$

보기 

$$\begin{split}\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} d x  &=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d \theta \quad (x=\sin \theta\; \iff \;dx=\cos \theta d \theta) \\ &=\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta d \theta =\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} (1+\cos 2 \theta) d \theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{4} \end{split}$$

자코비안 행렬

마찬가지로 이변수 함수를 적분할 때도 변수를 알맞은 다른 변수로 바꿔서 적분해야 할 때가 많다. 예를 들면 직교 좌표를 극좌표로 바꾸는 것이 있다.

$$x=r\cos \theta,\;\;y=r \sin \theta$$

이것은 치환으로 부르지 않고 변환으로 부르는데 $xy$ 좌표를 $uv$ 좌표로 바꾸는 변환을 일반적으로 표현하면 아래와 같다.

$$x=f(u,v),\;\; y=g(u,v)$$

$x,y,u,v$가 모두 $t$의 함수라 생각하면 연쇄법칙에 따라 아래와 같다.

$$\frac{d x}{d t}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{d u}{d t}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{d v}{d t},\quad \quad \frac{d y}{d t}=\frac{\partial g}{\partial u}\frac{d u}{d t}+\frac{\partial g}{\partial v}\frac{d v}{d t}$$

미분변수(differential) 사이에는 아래와 같은 관계가 있다. 

$$dx=\frac{\partial f}{\partial u}{d u} + \frac{\partial f}{\partial v}{d v},\quad \quad d y=\frac{\partial g}{\partial u}{d u} +\frac{\partial g}{\partial v}{d v}$$

이것을 행렬로 표현해 보자.

$$\begin{pmatrix} d x \\ d y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d u \\ d v \end{pmatrix}\tag{1}$$

행렬 $$\begin{pmatrix}  \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{pmatrix}$$ 을 '자코비안 행렬(Jacobian matrix)'이라 부르고 이 행렬의 행렬식을 보통 '자코비안(Jacobian)'이라 부른다. 참고 80년대엔 사람 이름이라 야코비안으로 읽었는데 로마자 표기법이 바뀌어서 이젠 자코비안으로 읽는다.

$$J(u,v)=\frac{\partial(f, g)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}  \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{vmatrix}$$

이 행렬이 어떤 일을 하는가 알아보기 위해 (1)을 아래와 같이 바꾸어 보자. 단, $\displaystyle{\mathbf{e}_1=(1\quad 0)\quad \mathbf{e}_2=( 0\quad1)}$

$\mathbf{x,y,u,v}$를 벡터로 생각하자.

$$\mathbf{dx}=dx \mathbf{e}_1 =(dx \;\;0) \quad \mathbf{dy}=dy \mathbf{e}_2=( 0 \;\;dy)$$

$$\mathbf{du}=du \mathbf{e}_1 =(du \;\;0 )\quad \mathbf{dv}=dv \mathbf{e}_2=( 0 \;\;dv)$$

$$\begin{aligned} {\bf dx} &= \dfrac{\partial f}{\partial u} {\bf du} + \dfrac{\partial f}{\partial v} {\bf d}\mathbf {v} = \dfrac{\partial f}{\partial u} (du\;\;0)+ \dfrac{\partial f}{\partial v} (0\;\;dv) = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial u}{\rm d}u \quad \dfrac{\partial f}{\partial v}{\rm d}v \end{aligned} \end{pmatrix} \\ {\bf dy} &= \dfrac{\partial g}{\partial u} {\bf du} + \dfrac{\partial g}{\partial v} {\bf d}\mathbf {v} = \dfrac{\partial g}{\partial u} (du\;\;0) + \dfrac{\partial g}{\partial v} (0\;\;dv) = \begin{pmatrix} \begin{aligned} \dfrac{\partial g}{\partial u}{\rm d}u \quad \dfrac{\partial g}{\partial v}{\rm d}v \end{aligned} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$$\begin{Vmatrix}\mathbf{dx}\\ \mathbf{dy}\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} du & \frac{\partial f}{\partial v} dv \\ \frac{\partial g}{\partial u} du & \frac{\partial g}{\partial v}dv  \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} dx&0 \\0&dy \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} du&0 \\0&dv \end{pmatrix}\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} dx&0 \\0&dy \end{vmatrix}=\begin{Vmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{Vmatrix} \begin{vmatrix} du&0 \\0&dv \end{vmatrix}$$

$$dx dy= \begin{Vmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{Vmatrix}dudv$$

양변에 절댓값을 취하면 아래와 같다.

$$|dx dy|=\begin{Vmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{Vmatrix} |du dv|$$

여기서 $|dx dy|$는 xy-좌표계에서 $|du dv|$는 uv-좌표계에서 넓이의 변화량이므로 두 좌표계 사이의 변환에서 자코비안으로 넓이 사이의 관계를 알 수 있다. 벡터로 해석하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있다.

넓이와 자코비안

넓이와 자코비안 사이의 관계를 알아 보자. 미분변수를 벡터로 표현하면 아래와 같다.

$$dx=(\frac{\partial f}{\partial u}{d u} , \frac{\partial f}{\partial v}{d v},0)\quad\quad {d y}=(\frac{\partial g}{\partial u}{d u} ,\frac{\partial g}{\partial v}{d v},0)$$

$xy$ 좌표에서 넓이 $A$의 변화는 $dA=|dx \times dy|$이다.

$$dx \times dy=\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j}& \mathbf{k} \\ \frac{\partial f}{\partial u}{d u} & \frac{\partial f}{\partial v}{d v} & 0 \\ \frac{\partial g}{\partial u}{d u} & \frac{\partial g}{\partial v}{d v} & 0  \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{vmatrix} du dv \mathbf{k}$$

$$dA=|dx \times dy|=\begin{Vmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v} \\ \frac{\partial g}{\partial u} & \frac{\partial g}{\partial v} \end{Vmatrix} du dv$$

이중적분으로 표현하면 아래와 같다.

$$A=\iint_{R}dA=\iint_{R}dxdy=\iint_{R} \left| \frac{\partial(f, g)}{\partial(u,v)} \right|dudv$$

치환적분과 비교하면 자코비안이 어떤 일을 하는가 쉽게 알 수 있다.

$xy$평면에서 영역 $R$에 있는 점을 아래와 같이 $uv$ 평면에 있는 영역 $G$로 변환한다고 하자. 

$$x=g(u,v), \quad y=h(u,v)$$

아래와 같은 등식이 성립한다. 단 $J(u,v)=0$이면 모든 점이 한 점으로 변환된다.

$$\iint_{R}f(x,y)dxdy=\iint_{G} f(g(u,v)h(u,v))|J(u,v)|du dv$$

보기 

아래 적분을 계산해 보자.

$$\int_{0}^{4} \int_{x=y/2}^{x=(y/2)+1}\frac{2x-y}{2}dxdy$$

이때 아래와 같이 변환하여 계산하면 편하다.

$$u= \frac{2x-y}{2},\;\;v=\frac{y}{2}$$

다시 정리하면 $x=u+v,\;\;y=2v$이므로

$$J(u,v)=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1\\0 & 2 \end{vmatrix}=2$$

따라서 아래와 같이 간단하게 계산할 수 있다.

$$\int_{0}^{4} \int_{x=y/2}^{x=(y/2)+1}\frac{2x-y}{2}dxdy =\int_{v=0}^{v=2} \int_{u=0}^{u=1}u \cdot 2 du dv=\int_{0}^{2} \left[ u^2 \right]_{0}^{1}dv=\int_{0}^{2} dv=2$$

직교좌표와 극좌표

직교좌표를 극좌표로 변환할 때 자코비안이 제대로 작동하는가 확인해 보자. 먼저 자코비안을 구하면 아래와 같다.

$$x=r\cos \theta,\;\;y=r \sin \theta$$

$$\begin{equation}\frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos \theta \end{vmatrix} =r(\cos^2 \theta+ \sin^2 \theta)=r\end{equation}$$

실제로 직교좌표계와 극좌표계에서 넓이를 구하는 과정을 생각해 보자.

주어진 영역 $R: a\leq x \leq b,\;\;c \leq y \leq d$에서 아래와 같은 분할 $P$를 생각하자. 

$$P: [a=x_0, a_1, x_2, \cdots, x_n=b]\;,\;\;[c=y_0, y_1, y_2, \cdots, y_n=d], \quad \Delta x=\frac{b-a}{n}, \Delta y=\frac{d-c}{n}$$

직교좌표계에서 영역 $R$에서 $z=f(x,y)$의 중적분은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\lim_{||P||\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_k,y_k) \Delta x \Delta y = \iint_{R}f(x,y)dA=\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y)dx dy$$

영역 $R$의 넓이는 $f(x,y)=1$인 경우이므로 넓이 $A$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$A =\lim_{||P||\to 0} \sum_{k=1}^{n} \Delta x \Delta y= \iint_{R}dxdy=\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} dx dy$$

극좌표계에서는 부채꼴 넓이를 더한 값이 넓이가 된다.

주어진 영역 $R: a \leq r \leq b,\;\;\alpha \leq \theta \leq \beta$에서 아래와 같은 분할 $P$를 생각하자.

$$P: [a=r_0, r_1, r_2, \cdots, r_n=b]\;,\;\;[\alpha =y_0, y_1, y_2, \cdots, y_n= \beta]\quad \Delta r=\frac{b-a}{n}, \Delta \theta=\frac{\beta-\alpha}{n}$$

$$\Delta A_k=\frac{1}{2} \left(r_k + \frac{\Delta r}{2} \right)^2 \Delta \theta -\frac{1}{2} \left(r_k - \frac{\Delta r}{2} \right)^2 \Delta \theta=r_k \Delta r \Delta \theta$$

$$A =\lim_{||P||\to 0} \sum_{k=1}^{n} \Delta A_k = \lim_{||P||\to 0} \sum_{k=1}^{n} r_k \Delta r \Delta \theta = \iint_{R} r dr d \theta=\int_{\alpha}^{\beta} \int_{a}^{b} r dr d \theta$$

직교좌표와 구면좌표

직교좌표를 구면좌표로 변환할 때 자코비안이 제대로 작동하는가 확인해 보자. 먼저 자코비안을 구하면 아래와 같다.

$$x=r\cos \theta \sin\varphi ,\;\;y=r \sin \theta \sin \varphi,\;\;z=r\cos\varphi$$

$$\begin{split}\frac{\partial (x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} &=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} \cos \theta \sin \varphi & -r\sin\theta \sin \varphi & r \cos \theta \cos\varphi  \\ \sin\theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r \sin \theta \cos \varphi \\ \cos \varphi & 0 & -r\sin \varphi \end{vmatrix} \\ &= \cos \theta \sin \varphi (-r^2 \cos \theta \sin^2 \varphi) + r \sin \theta \sin \varphi(-r \sin \theta \sin^2 \varphi -r\sin \theta \cos^2 \varphi) + r \cos \theta \cos \varphi (-r \cos \theta \sin \varphi \cos \varphi)\\ &= r^2 \sin \varphi(-\cos^2 \theta \sin^2 \varphi -\sin^2 \theta - \cos^2 \theta \sin^2 \varphi) \\ &= -r^2 \sin \varphi \end{split}$$

$$\left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| = r^2 \sin \varphi$$

위에 있는 극좌표와 마찬가지로 생각하면 아래와 같다.

$$V=\iiint r^2 \sin \varphi dr d \theta d \varphi$$

보기 

그림과 같은 아이스크림 모양의 부피를 구하여라. 반지름 $\rho=1$인 구(sphere)와 $\phi=\pi/3$인 직원뿔(cone)이 합쳐진 모양이다.

$$\begin{split}V& =\iiint_{D} \rho^2 \sin \phi  \; d \rho \; d \phi \;d \theta=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{1} \rho^2 \sin \phi \;d \rho \;d \phi \;d \theta \\& = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/3} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_{0}^{1}\sin \phi \;d \phi \;d \theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{3} \sin \phi \;d \phi \;d \theta \\ & = \int_{0}^{2\pi} \left[ -\frac{1}{3}\cos \phi \right]_{0}^{\pi/3} \;d \theta = \int_{0}^{2\pi} \left( -\frac{1}{6}+\frac{1}{3} \right)d \theta=\frac{1}{6}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{3} \end{split}$$