풀이 1) 문제에 주어진 궤적은 원래 트랙과 $2/n$만큼 더 넓은 트랙 사이에 존재한다. 따라서 궤적 안쪽의 넓이 $A$는 아래와 같은 식을 만족한다. $$\pi+2\pi \leq A \leq \pi \bigg( 1+\frac{2}{n} \bigg)^2 +2\pi \bigg( 1+ \frac{2}{n} \bigg)$$ $n \rightarrow \infty$일 때, $A$의 극한값은 $3\pi$이다.
풀이 2) 직선 구간을 구를 때 자취는 사이클로이드이다. 출발점에서 중심이 $t$만큼 이동했을 때 회전한 각은 $nt$이다. 이때 중심은 $(t, 1/t)$이다. $$x=t-\frac{1}{n} \sin nt, \quad y= \frac{1}{n} - \cos nt \quad(0 \leq t \leq \pi)$$
구하고자 하는 확률은 $$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{12}{19}$$이다.
문제 3
(1) 한 변의 길이가 $a$이고 $n$개 ($n \geq3$)의 변을 가진 정다각형의 넓이를 $S_n(a)$라 표기하자. 주어진 양의 정수 $m$에 대해 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{S_{mn}(a)}{S_n (a)}}$를 구하시오.
(2) 한 변의 길이가 $\displaystyle{2 \sin \bigg( \frac{\pi}{20}\bigg)}$인 정이십각형을 밑면으로 하고 밑면을 포함하는 평면 밖의 한 점 $Q$를 꼭짓점으로 가지는 각뿔을 $A$라고 하자. 이 정이십각형의 꼭짓점 중 하나를 $P_1$이라 하고 정이십각형의 변을 따라 시계 반대 방향으로 이동할 때 만나는 꼭짓점을 각각 $P_2 , P_3 , \cdots,P_{20}$라 표기하자.
$\overline{QP_1}=\sqrt{2},\;\;\overline{QP_6}=\sqrt{3},\;\;\overline{QP_{11}}=\sqrt{4}$일 때 $A$의 부피를 구하시오. (단, 계산과정에서 나올 수 있는 삼각 함숫값을 정확히 구할 필요는 없음.) (총 5점)
풀이 1) 한 변의 길이가 $a$인 정 $n$각형을 $A_n(a)$가 있다. 중심이 $O$인 외접원을 생각하자. 이웃한 두 꼭짓점 $A,B$와 외접원의 중심을 잇는 삼각형은 이등변 삼각형이다. 꼭지각이 $2\pi/n$이고 밑변이 $a$이다. 중심 $O$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 길이는 $\displaystyle{\frac{a}{2\tan \frac{\pi}{n}}}$이므로 삼각형 $OAB$의 넓이는 $\displaystyle{\frac{a^2}{4\tan \frac{\pi}{n}}}$이다.
같은 삼각형이 $n$개 있으므로 다각형 $A_n(a)$의 넓이 $\displaystyle{S_n(a)=\frac{na^2}{4\tan \frac{\pi}{n}}=\frac{na^2 \cos \frac{\pi}{n}}{4\sin \frac{\pi}{n}} }$이다.
풀이 2) 한 변의 길이가 $\displaystyle{2 \sin \left( \frac{\pi}{20}\right)}$인 정이십각형의 외접원은 반지름이 $1$이다. 밑면을 포함하는 평면 밖의 한 점을 $Q(x,y,z)$라 하자.
그림에서 $P_1, P_6, P_{11}$의 좌표는 각각 $(1,0,0),(0,1,0), (-1,0,0)$라고 놓을 수 있다. 문제에 주어진 조건은 아래와 같다. $$(x-1)^2 +y^2 +z^2 =2,\;\; x^2 +(y-1)^2 +z^2 =3,\;\; x^2 +y^2 +(z-1)^2 =4$$
연립방정식을 풀면 $$x-y=\frac{1}{2},\;\;x+y=\frac{1}{2}$$ 이다.
문제 4 $\overline{AB}=\sqrt{3}, \overline{BC}=4$인 직사각형 $ABCD$의 세 변 $AB$, $BC$, $CD$의 안쪽이 거울로 되어 있어서 빛이 반사된다고 한다. 변 $DA$의 중점을 $M$이라 하자. 점 $A $에서 변 $AB$와 이루는 각이 $\theta$가 되도록 빛을 직사각형 내부로 쏘았을 때 빛이 처음으로 변 $DA$와 다시 만나게 되는 점을 $P$라 하자. (단, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ )
처음에는 속도가 $0$이며 $1$초당 $\displaystyle{\frac{\sqrt3}{2}}$의 속도로 일정하게 $\theta$ 값을 증가시킨다고 하자. (총 5점)
(1) $P$가 처음으로 $M$과 같아질 때 $\theta$는 얼마인가?
(2) $\theta$가 $\pi/3$인 순간 빛이 $A$에서 $P$까지 이동한 총 거리와 선분 $AP$의 길이를 구하시오.
(3) $P$가 $n$번째로 $M$과 같아질 때 $P$가 움직이는 속력을 $a_n$이라고 하자. (단, $a_n >0$) $a_n$을 구하시오.
좌표평면 위에서 $A$가 $(0,0)$ , $B$가 $(\sqrt3 ,0)$, $C$가 $(\sqrt3 ,4)$, $D$가 $(0,4)$에 있다고 하자. 이 문제를 쉽게 풀기 위해서는 빛이 반사되어 움직이는 대신 빛은 직선으로 이동하고 대신 원래 그림을 그 직선으로 대칭이동 시켜서 생각하는 것이 편리하다.
그러면 결국 그림처럼 $y=8,y=16,y=24,\cdots$ 와 같은 직선은 직선 $AB$와 같아지며, $y=4,y=12,y=20, \cdots $과 같은 직선은 직선 $CD$와 같아진다. 직선 $BC$에 대칭이동 시켜 생각하면 $x=2\sqrt3$은 직선 $DA$와 같다.
(1) 점 $M$은 $(0,2)$에 위치하며 이 점은 정수 $n$에 대하여 $(2\sqrt3 ,2+4n)$와 같다. $x$를 증가시켰을 때 가장 먼저 만나는 점은 $(2\sqrt3 ,2)$이 되고, 원점에서 $(2\sqrt3 ,2)$를 잇는 직선의 기울기는 $\displaystyle{\tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}}$이 되어 $\theta= \pi/6$ (혹은 30도)를 얻는다.
(2) $\theta$가 $\pi/3$이면 $\tan\theta=\sqrt3$이므로 $y=\sqrt3 x$인 직선이 $x=2\sqrt3$인 직선을 만나는 지점은 $(2\sqrt3 ,6)$이 된다. 이때 $(2\sqrt3 ,4)$는 D와 같고 $(2\sqrt3 ,8)$은 A와 같으므로 $P$는 $M$과 같아진다.
즉 $P$와 $A$ 사이 거리는 $2$가 된다. 한편 빛이 이동한 거리는 피타고라스 정리에 따라 $4\sqrt3$이 된다.
(3) $P$의 직선 $x=2 \sqrt {3}$ 위에서의 $y$좌표를 $y$라고 하면 $y=2\sqrt3 \tan\theta$가 된다.
한편 $1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$이다. 따라서 $$\frac{dy}{d t}=3(1+\tan^2 \theta)$$ 이제 $P$가 $n$번째로 $M$이 된다면 $y=2+4(n-1)$이 되어야 하므로 $4n-2=2\sqrt3\tan\theta$가 되어서 $$\tan\theta=\frac{4n-2}{2\sqrt3}$$이 된다. 이것을 위 식에 대입하면 $n$ 번째로 $P$가 $M$을 만날 때 이동속도는 아래와 같다.
