2020학년도 카이스트 면접 기출문제

올해는 대부분 대학이 구술 면접을 비대면으로 하기로 했다. 카이스트는 아직 결정하지 감염병 대응 단계에 따라 대면 면접이 있을 수도 있다고 한다. 지난해 면접 기출문제와 풀이가 카이스트 입학처에 올라와 있지만 코로나 상황이 끝나면 다시 쓸 수 있도록 나름대로 정리해 보려고 한다. 

자연수 $n$에 대해 두 함수 $f(x)= \sin^3 (nx)$와 $g(x)= \cos^3 (nx)$를 생각하자. (총 5점)

1) 구간 $[0,2\pi]$에서 두 평면 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 만나는 교점의 $x$좌표의 최솟값 $a$와 최댓값 $b$를 구하시오. (1점)

2) 구간 $[a,b]$에서 두 평면 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때 극한값 $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$을 구하시오. (4점)

풀이

자연수 $n$에 대한 문제는 귀납적으로 생각하면 쉽다.

먼저 $n=2$일 때 그래프를 그리면 아래와 같다. 만나는 점은

$$\sin^3 (2x)=\cos^3 (2x) \quad \Rightarrow \quad \tan^3 (2x)=1 \quad \Rightarrow \quad \tan(2x)=1$$

$$2x=k\pi + \frac{\pi}{4}\quad (k=0,1,2,3)$$

$$x=\frac{\pi}{8},\;\;\frac{5\pi}{8},\;\;\frac{9\pi}{8},\;\;\frac{13\pi}{8}$$

 

여기까지는 답에 접근하기 위한 시도이므로 굳이 풀이에서 밝힐 필요 없이 이제 $n$에 대하여 정리하면 된다.

[1단계]

$$\sin^3 (nx)=\cos^3 (nx) \quad \Rightarrow \quad \tan^3 (nx)=1 \quad \Rightarrow \quad \tan(nx)=1$$

$$nx=k\pi + \frac{\pi}{4}\quad (k=0,1,2,3,\cdots,2n-1)$$

$$x=\frac{1}{n}\bigg(k\pi+\frac{\pi}{4}\bigg)\quad (k=0,1,2,3,\cdots,2n-1)\tag{1}$$

최솟값은 $k=0$일 때이므로 $\displaystyle{a=\frac{\pi}{4n}}$이다.

최댓값은 $k=2n-1$일 때이므로 $\displaystyle{b=2\pi-\frac{3\pi}{4n}}$이다.

[2단계]

두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구해보자.

닫힌구간 $[a,b]$에서 두 함수로 둘러싸인 부분은 $2n-1$개이고 넓이는 모두 같다. 따라서 $S_n$아래와 같이 정적분으로 구하면 된다.

$$S _{n} = \int _{a} ^{b} {} |\sin ^{3} (nx)-\cos ^{3} (nx)|dx=(2n-1)\int_{\pi/4n}^{5\pi/n}[ \sin^3 (nx)-\cos^3 (nx)]dx\tag{2}$$

정적분 부분만 따로 계산해 보자.

$$\begin{split}I&=\int_{\pi/4n}^{5\pi/n}[ \sin^3 (nx)-\cos^3 (nx)]dx\\&=\int_{\pi/4n}^{5\pi/n}[ \sin (nx)-\cos (nx)][ \sin^2 (nx)+\cos^2 (nx)+\sin(nx)\cos(nx)]dx\\&=\int_{\pi/4n}^{5\pi/n}[ \sin (nx)-\cos (nx)][ 1+\sin(nx)\cos(nx)]dx\\&=\int_{\pi/4n}^{5\pi/n}[ \sin (nx)-\cos (nx)+\sin^2(nx)\cos(nx)-\sin(nx)\cos^2(nx)]dx \\&=\frac{1}{n}\bigg[ -\cos(nx)-\sin(nx) + \frac{1}{3}\bigg(\sin^3 (nx)+\cos^3 (nx) \bigg)\bigg]_{ \pi/4n}^{5\pi/4n}\\&=\frac{5\sqrt2}{3n}\end{split}$$

(2)에 대입하여 정리하자.

$$S_n=\frac{5\sqrt2 (2n-1)}{3n}$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\frac{10\sqrt2}{3}$$

$\blacksquare$

면접 점수를 어떻게 매기는가 궁금하다. 점수 배점을 보면 1점과 4점이다. 소수점 단위로 점수를 매기지 않는다면 변별력이 크다고 봐야 하지 않을까 싶다.