수학과 사는 이야기

자연수 $n$에 대해 0보다 크거나 같은 값을 갖는 확률변수 $X_n$의 확률밀도함수가 $$f_n (x)=c_n x^n e^{-x},\quad\quad x\geq 0$$으로 주어졌다. ($e$는 자연로그의 밑, $c_n$은 $n$에 따라 달라지는 양의 상수이다.) 단, 모든 $n$에 대해서 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}x^n e^{-x}=0}$임이 알려져 있다. (총 5점) 1) $n=2$인 경우인 $f_2(x)$가 확률밀도함수가 되는 상수 $c_2$의 값을 구하시오. (2점) 2) 자연수 $n$과 고정된 양의 상수 $r>0$에 대해서 확률 $P(a \leq X_n \leq a+r)$가 최대가 되는 양수 $a$를 $r$과 $n$을 사용하여 표현하고 최대인 근거를..