2020학년도 카이스트 면접 기출문제

자연수 $n$에 대해 0보다 크거나 같은 값을 갖는 확률변수 $X_n$의 확률밀도함수가

$$f_n (x)=c_n x^n e^{-x},\quad\quad x\geq 0$$으로 주어졌다. ($e$는 자연로그의 밑, $c_n$은 $n$에 따라 달라지는 양의 상수이다.)

단, 모든 $n$에 대해서 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}x^n e^{-x}=0}$임이 알려져 있다. (총 5점)

1) $n=2$인 경우인 $f_2(x)$가 확률밀도함수가 되는 상수 $c_2$의 값을 구하시오. (2점)

2) 자연수 $n$과 고정된 양의 상수 $r>0$에 대해서 확률 $P(a \leq X_n \leq a+r)$가 최대가 되는 양수 $a$를 $r$과 $n$을 사용하여 표현하고 최대인 근거를 설명하시오. (2점)

 

(1) 함수 $f_2(x)$가 확률밀도함수가 되기 위해서는 연속확률변수 $X_2$가 값을 가지는 영역에서의 적분한 값이 1이 되어야 한다. 즉, 양의 실수 축에서 적분 값이 1이어야 한다. 이를 확인하기 위해서 부분적분을 이용하자.

$$\int_0^M x^2 e^{-x}dx=\bigg[x^2(-e^{-x})-2x e^{-x}+2(-e^{-x})\bigg]_{0}^{M}=-M^2 e^{-M} -2Me^{-M}-e^{-M}+2$$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}x^n e^{-x}=0}$를 활용하여 $M$이 무한대로 커지는 경우를 고려하면, $ x^2 e^{-x}$의 양의 실수 축 상에서 적분 값이 2 임을 알 수 있다.

따라서 $c_n=1/2$이다.

미분해서 그래프를 대충 그려보면 아래와 같다. $x=2$에서 최대가 되는데 실제보다 크게 그렸다.

(2)

방법 1:

$$P(a \leq X_n \leq a+r)=\int_a^{a+r}f_n (x)dx= \int_{0}^{a+r}f_{n} (x)dx-\int_{0}^{a} f_{n}(x)dx$$이다. 편의상 이 값을 아래와 같이 $a$의 함수로 생각하자.

$$g(a)= \int_{0}^{a+r}f_{n} (x)dx-\int_{0}^{a} f_{n}(x)dx$$

$g(a)$의 최댓값을 구하기 위해 먼저 $a$에 대해서 미분하자.

적분과 미분의 관계에 의해

$$\begin{split}g^{\prime}(a)&=f_n (a+r)-f_n (a)\\&=c_n (a+r)^n e^{-(a+r)}-c_n a^n e^{-a}\\&=c_n a^n e^{-(a+r)}\bigg( \bigg( \frac{a+r}{a}\bigg)^n -e^r \bigg)\\&=c_n a^n e^{-(a+r)}\bigg(\bigg( 1+ \frac{r}{a}\bigg)^n -e^r \bigg)\end{split}$$이다.

먼저 $g^{\prime}(a)=0$인 $a$ 값을 찾아보자.

$c_n a^n e^{-(a+r)}>0$이므로 $\displaystyle{\bigg( 1+\frac{r}{a}\bigg)^n -e^r=0}$인 경우만을 생각하자.

$$a^* =\frac{r}{e^{r/n}-1}$$

이 값에서 최대가 되는 것을 확인하는 가장 많이 쓰는 방법은 미분계수의 부호로 함수의 증감을 조사하는 것이다.

$a^*$ 전후에서 미분계수의 부호를 확인해 보자.

식에서 확인할 수 있듯이 미분계수 $g^{\prime}(a)$는 $a<a^*$일 때, 양이고 $a^*<a$일 때 음이다.

따라서 $g(a)$는 증가하다가 $a=a^*$일 때 최대가 되고 $a$가 더 커지면 감소하게 된다.

방법 2:

$f_n(x)$을 미분하여 그래프 개형을 그려보자.

$$f^{\prime}(x)=n c_n x^{n-1}e^{-x}-c_n e^{-n}=c_nx^{n-1}e^{-1}(n-x)$$

$0$부터 $n$까지 증가하여 $x=n$에서 최댓값을 가지고 이후는 계속 감소한다.

$r$이 고정된 상수임을 이용하자.

주어진 확률은 $a$부터 $a+r$까지 함수 $f_n(x)$의 그래프와 $x$축 사이의 넓이이다.

따라서 이 면적을 최대로 하는 $a$값에 대하여 $f_n(a)$와 $f_n(a+r)$의 값이 다르다면 값이 작은 $f_n$ 쪽의 $x$축 구간을 조금 잘라서 큰 $f_n$ 쪽으로 넘겨주면 넓이가 더 커지게 된다.

그러므로 $f_n(a)=f_n(a+r)$이라야 넓이가 최대가 된다.

방법 1에서 구한 값과 같은 값을 얻을 수 있다.