수학과 사는 이야기

등비급수나 p-급수처럼 곧바로 수렴과 발산을 판정할 수 있는 무한급수가 있다. 어떤 급수는 쉽게 수렴, 발산을 판정할 수 있는 급수와 비교하여 판정할 수 있다. 두 가지 정리를 증명해 보자. 비교 판정 정리 음이 아닌 항 만을 가진 급수 $\sum a_n , \sum c_n , \sum d_n$이 있다. 어떤 자연수 $N$에 대하여 $n >N$인 모든 자연수 $n$에서 아래가 성립한다고 가정하자. $$d_n \leq a_n \leq c_n$$ (a) $\sum c_n$이 수렴하면 $\sum a_n$은 수렴한다. (b) $\sum d_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다. 증명 (a) $\sum a_n$의 부분합은 아래와 같은 수 $M$으로 위로 유계된다. $$M=a_1 +a_2 +a_3 +\cd..