수학과 사는 이야기

이산수학(discrete mathematics)에 있던 그래프가 수학1로 옮겨 왔다. 아주 간단한 것들이지만 이산수학에서 출제되던 복잡한 문제가 나온다면 그렇게 쉽다고 볼 수도 없다. 물론 처음이니까 아주 어려운 것은 나오지 않을 것이라 믿는다. 어느 정도 범위까지 공부해야 할까? EBS 수능완성을 보니 교과서 내용만 하기엔 조금 불안한다. 그래프 이론을 조금 더 정리해 둔다. 그래프란? 쉽게 말하면 아래와 같이 점을 선으로 연결한 것이다. 그래프 $G$는 꼭짓점(vertex or node)들의 집합 $V$와 변(edge or line)들의 집합 $E$로 이루어졌다. 수학에선 $G=(V,E)$와 같이 쓴다. 위 그래프는 꼭짓점 6개, 변 7개로 이루어졌다. $V= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, ..

간단해 보이지만 간단치 않은 수학문제 하나 풀어 봅시다. 케이크가 보이시나요. 이 케이크을 모두가 만족하도록 나누어 가지려면 어찌해야 될까요? 크기만 똑같이 나누면 누군가 다른 이가 가진 것을 부러워하게 됩니다. 생크림 있는 쪽을 모두가 좋아한다면 크기를 조금 작게 나누어야겠지요. 서로 크기가 같은 똑같은 나눔과 크기는 달라도 모두 맘에 들어하는 것은 부러움 없는 나눔이라 부릅시다. 둘이라면 간단하죠. 1. A가 나름대로 둘로 자릅니다. 2. B가 먼저 둘 가운데 하나를 가집니다. 이렇게 나누면 둘 모두 다른 조각을 부러워하지 않을 테니 부러움 없는 나눔이 됩니다. 이제 셋이라면 어떻게 나누어야 할까요? 1. 먼저 $A$가 케이크을 셋($X,Y,Z$)으로 자릅니다. 이제 $B$와 $C$가 각각 가지고 싶..

그림처럼 프로이센의 쾨니히스베르크(오늘날 러시아 칼리닌그라드)에는 강이 있고 강으로 둘러싸인 섬이 하나 있다. 섬을 잇는 다리가 7개가 있는데 사람들 가운데 운동이나 산책을 하면서 이 다리들을 모두 한 번씩만 건너서 출발한 곳으로 다시 돌아오려고 하는 이들이 있었다. 아무도 답을 찾지 못하고 있던 문제를 오일러가 각 지점을 점으로 다리는 변으로 생각하는 그래프를 고안하여 그럴 수 없다는 것을 밝혀냈다.(1735년) 위키디피아로 오일러는 어떤 그래프에 한 꼭짓점에서 시작하여 펜을 떼지 않고 모든 변을 한번씩만 지나서 처음 출발점으로 되돌아오는 길을 가지려면 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 모두 짝수이어야 함을 증명했다. 오늘날 이산수학에서는 위 그림을 아래와 같이 간단하게 그래프로 나타낸다. 그래프 이론에..