수학과 사는 이야기

문제 1 좌표 평면 위에서 $0\leq a \leq9$인 모든 실수 $a$에 대해 두 점 $(a,0)$과 $(0,9-a)$를 잇는 선분을 모두 그렸을 때 적어도 하나 이상의 선분 위에 있는 모든 점들의 집합을 $D$라 하자. (1) 이 선분이 $(1,4)$를 지나게 될 모든 $a$를 구하여라. (2) 집합 $D$에 점 $(1,y)$가 포함될 $y$의 최댓값을 구하여라. (3) $D$가 나타내는 도형의 넓이를 구하여라. 풀이 $x,y$절편이 각각 $(a,0),(0,9-a)$인 직선의 방정식은 $$\frac{x}{a}+\frac{y}{9-a}=1$$ 이다. 그림으로 나타내면 집합 $D$는 위 그림에서 1사분면에 있는 영역이다. 먼저 1)에서 점 $(1,4)$를 지난다고 하면 $$\frac{1}{a}+\fra..

역함수의 성질을 활용하여 부정적분을 해보자. 지수함수 $f(x)=e^x$의 역함수는 $f^{-1}(x)=\ln x$이다. $$\int f^{-1}(x) dx=\int \ln x dx$$에서 $x=e^t$으로 치환하면 $\displaystyle{\frac{dx}{dy}=e^y}$이므로 주어진 부정적분은 $$=\int y e^y dy=y e^y -\int e^y dy=y e^y -e^y +C=x\ln x-x+C$$이다. 정리하자면 아래와 같이 역함수로 치환하고 부분적분을 써서 부정적분을 구한다. $$\int f^{-1}(x) dx=\int f^{-1}(f(y))f^{\prime}(y)dy=\int x f^{\prime}(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy$$ 함수 $y=\tan^{-1} x$의 부정적분..