수학과 사는 이야기

이탈리아 수학자 주세페 페아노(Giuseppe Peano)는 자연수 공리계를 세운 이로 유명하다. 그가 쓴 에 나오는 페아노 공리는 아래와 같다. 페아노 공리는 $N$ 또는 $\mathbb{N}$로 나타내는 자연수 집합에서 산술 원리를 정의한다. 상수 $0$과 함수 뒤따라 오는 수(따름수:successor)를 정의하는 함수 $S$로 이루어져 있다. (쉽게 나타내면 $S(n)=n+1$이다.) $0 \in \mathbb{N}$ $\forall x\in \mathbb{N}\;\;\;\; x = x$ 등호는 반사관계(reflexive)이다. $\forall \;x,y\;\;\in \mathbb{N}\;\;\; x = y \;\Rightarrow \;y = x$ 등호는 대칭관계(symmetric)이다. $\for..

방정식 $x+y=3$의 해를 생각해 보자. 아무런 조건이 없다면 해는 무수히 많다. 직선 위에 있는 모든 점들이 해가 된다. 이처럼 해가 너무 많아서 정할 수 없는 방정식을 부정방정식으로 부른다. 연립방정식에서 미지수 개수보다 방정식 개수가 적다면 부정방정식이다. $x,y \in \mathbb{N}$이란 조건을 더하면 해는 $(1,3),\;\;(2,2)\;\;(3,1)$이다. 이처럼 부정방정식 해 가운데 조건에 맞는 해를 찾는 문제가 있다. 부정방정식 가운데 정수해만을 구하는 것을 디오판토스 방정식이라고 한다. 예를 들면 $$a_1 x_1 +a_2 x_2 +\cdots +a_n x_n =b\;\;(a_i , b \in \mathbb{Z}),\;\;x^2 +y^2 =z^2$$ 이 있다. 이제 간단한 디오판..