수학과 사는 이야기

고등학교에 들어오면 다루는 수체계가 복소수까지 넓어진다. 실수에서 복소수로 넓혀가는 순간은 어쩌면 혁명에 가까운 순간이라고 할 수 있다. 차원이 달라지는 순간이니까 말이다. 실수에서 방정식 $x^2 =-1$의 해는 존재하지 않는다. 이렇게 음수의 제곱근을 새로운 수로 받아들이고자 만들낸 것이 바로 허수이다. 그래서 흔히 교과서에서 허수단위 $i$를 $\sqrt{-1}=i$라고 쓰는데 아마도 $-1$의 제곱근이 둘 $+-i$이므로 이를 구별하기 위해 그렇게 쓴 듯하다. 그러나 $\sqrt{-1}=-i$라고 해도 별다른 문제가 일어나지 않는다. 그러므로 조금 애매한 표현이라고 할 수 있다. $1=\sqrt{1} =\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=i\cdot i=-1..