특수 상대성이론

세상에 변하지 않는 것은 시간이라고 생각하고 있었다. 미적분 문제를 풀다가 아인슈타인의 상대성이론을 보았다.

뉴턴은 아래와 같이 힘을 구할 때 질량을 상수로 보았다. 이것은 아주 쉽게 이해할 수 있었다.

$$F=\frac{d}{dt}mv=m\frac{d}{dt}v=ma$$

1905년 아인슈타인은 속도가 $v$인 물체의 질량 m은 아래와 같이 정해진다고 말했다. ($m_0$는 정지해 있을 때 질량)

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

갑자기 아인슈타인이 내세운 식을 이해하고 싶어졌다. 그래서 찾아 본 내용을 정리해 둔다.

아인슈타인이 정한 공리

광속 불변 공리: 모든 관성계에서 빛의 속도는 달라지지 않는다.

상대성 공리: 모든 관성계에서 물리법칙은 같다.

관성계: 힘을 받지 않는 물체는 정지해 있거나 등속운동을 하는 계

갈릴레이 상대성 원리에 따르면 속도 $v$로 달리는 기차에서 움직이는 방향과 같은 방향으로 속도 $v_1$로 던진 물체는 기차 밖에서 보면 $v+v_1$로 보인다. 그런데 빛과 같은 속도 $c$로 움직이는 전자기파는 $v+c$로 관측되지 않고 $c$로 관측되었다.(1881 마이켈슨-몰리의 실험)

상당히 빠른 속도 $v$로 날아가는 로켓이 있다. 전자기파를 로켓이 움직이는 방향과 수직으로 보내면 거울에 반사되어 제자리로 되돌아 온다. 아래 그림은 안과 밖에서 보이는 전자기파를 그린 것이다. 

피타고라스 정리를 써서 정리해 보자.

$$\begin{split}(ct)^2 &=(ct_0)^2 +(vt)^2\\(c^2-v^2)t^2&=(ct_0)^2\\t&=\displaystyle{\frac{t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}\end{split}$$

이 식에 따르면 로켓의 속도가 광속에 가까워질수록 밖에서 관측되는 시간은 한없이 늘어난다.

이제 질량 사이의 관계를 구해 보자.

운동량은 보존되므로 $m_0v_0=mv$이다. 여기에 위에서 찾은 시간을 대입해서 정리해 보자.

$$m_0v_0=mv=m\frac{L}{t}=m\frac{L}{t_0}\times\sqrt{1-v^2/c^2}=m v_0 \sqrt{1-v^2/c^2}$$

$$\therefore \;\;m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\tag{1}$$

 

이제부터는 미적분이다.

먼저 아래와 같은 선형근사(linearization)를 이용하자.

$$(1+x)^k\approx 1+kx$$

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{- 1/2}\approx 1+\frac{1}{2}x^2$$

$$m\approx m_0 \bigg( 1+\frac{1}{2} \times (v/c)^2\bigg)$$

$$m-m_0 \approx \frac{1}{2} \times m_0 (v/c)^2 $$

$$(m-m_0)c^2 \approx \frac{1}{2} \times m_0 v^2 $$

오른쪽에 있는 식은 운동에너지이다. 따라서 질량의 변화량 $\times$ 광속의 제곱의 값은 운동에너지로 근사할 수 있다.

$$\Delta m c^2 \approx \frac{1}{2} \times m_0 v^2 =KE $$

 

아래는 정말 널리 알려진 에너지 공식이다. $$E=mc^2$$

이걸 미적분으로 좀더 정확하게 구해보자. 일은 $W=F\times \Delta s$임을 알고 있다. 이것을 적분으로 표현하면 아래와 같다.

$$W=\int_{0}^{s} F ds=\int_{0}^{s} \frac{d(mv)}{dt} ds=\int_{0}^{t}\frac{d(mv)}{dt} \frac{ds}{dt} dt=\int_{0}^{mv} vd(mv)$$

이제 위에서 구한 질량 사이 관계식 (1)을 대입하여 부분적분을 하자.

$$\begin{split}&=\int_{0}^{v}vd\bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg)\\&=\bigg[ v \bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg) \bigg]_{0}^{v}-\int_{0}^{v} \bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg) dv\end{split}\tag{2}$$

다음은 뒷부분을 치환적분하자.

$$u=\sqrt{1-v^2/c^2},\;\;\;\;u^2=1-v^2/c^2, \;\;\;\;u^2 c^2 =c^2-v^2$$

$$c^2 \cdot 2u du=-2v dv,\;\;\;\;c^2 \cdot u du=-v dv,\;\;\;\; vdv=-c^2 udu$$

$$\begin{split}&-\int_{0}^{v} \bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg) dv\\&= -\int_{v=0}^{v=v}\frac{m_0}{u}(-c^2 udu)\\&=\int_{v=0}^{v=v}\frac{m_0c^2}{u}udu \\&=m_0c^2\int_{v=0}^{v=v}du \\&=m_0c^2[u]_{v=0}^{v=v}=m_0c^2[\sqrt{1-v^2/c^2}]_0^{v}\\&=m_0c^2[\sqrt{1-v^2/c^2}-1]\end{split}$$

(2)식에 넣어서 정리해 보자.

$$ =\frac{m_0v^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+ m_0 c^2 \sqrt{1-v^2/c^2} -m_0c^2 $$

여기에 다시 (1)을 변형한 식 $m_0=m\sqrt{1-v^2/c^2}$을 넣어서 정리하자.

$$\begin{split}&=mv^2 +m\sqrt{1-v^2/c^2} c^2 \sqrt{1-v^2/c^2}-m_0 c^2 \\&=mv^2 +mc^2 -mv^2 -m_0c^2\\&=mc^2 -m_0 c^2 =\Delta m c^2\end{split}$$