굴절 법칙 Snell's law

스넬 법칙은 굴절refractive을 정리한 법칙이다. 이 법칙을 끌어내는 다양한 방법이 있는데 여기서는 페르마 원리Fermat's principle에서 끌어내려고 한다. 위키백과에 있는 글에서 미분과 관련된 부분을 우리말로 옮기며 몇 가지 설명을 덧붙인다.

페르마의 원리:  빛은 항상 가장 이동 시간이 가장 짧은 경로를 따라 이동한다.

굴절률refractive index $n=c/v$은 주어진 매질에서 빛의 속도 $v$에 반비례 한다.($c$은 진공 상태에서 빛의 속도) 해변을 달리는 것이 바닷물에서 수영하는 것보다는 빠르다. 따라서 해변은 굴절률이 낮고 바닷물은 굴절률이 높다고 비유할 수 있다. 물에 빠진 사람을 구조하러 갈 때 가장 빠른 경로를 찾는 일을 생각해 보자. 아래 그림에서 매질 1은 해변, 매질 2는 바다로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

빛이 매질medium 1에 있는 점 $Q$를 출발하여 굴절refractive되어 매질 2에 있는 점 $P$에 도착한다고 하자. 매질 1과 2에서 굴절률refractive index을 각각 $n_1$ and $n_2$이라고 하자. 빛은 경계에 있는 점 $O$를 지나 매질 2로 들어간다고 하자.

그림에서 법선normal에 대한 $\theta_1$은 입사각, $\theta_2$는 굴절각이고 매질 1과 2에서 광속을 각각 $v_1=c/n_1$과 $v_2=c/n_2$이라 하자.($c$은 진공 상태에서 빛의 속도, $\theta_1>0$)

빛이 점 $Q$를 출발하여 $O$를 지나 $P$에 도착할 때까지 걸리는 시간 $T$는 아래와 같이 나타낼 수 있다. 상수 $a, b, l$와 변수 $x$가 나타내는 것은 위 그림을 참고하자.

$$T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2} \tag{1}$$

이제 페르마 원리에 따라 빛은 $T$가 최솟값을 가지는 경로를 따라 이동한다. 

이제 $O$를 찾으면 된다.

(1)을 $x$에 대하여 미분하여 미분계수가 $0$인 점을 찾아보자.

$$\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{  -(l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0\tag{2}$$

함수 $\displaystyle{\frac{dT}{dx}}$는 구간 $[0,l]$에서 연속이고 $x=0,\;\;x=l$일 때, 함숫값은 각각 $\displaystyle{\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=0}<0}$, $\displaystyle{\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=l}>0}$이므로 사잇값 정리에 따라 (2)를 만족하는 $x_0\in[0,l]$는 반드시 존재한다.

이계 도함수를 구해서 $x=x_0$에서 어떤 극값을 가지는가 판정해 보자.

$$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{a^2}{v_1(x^2 +a^2)\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ b^2}{v_2((l-x)^2 +b^2)\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}>0\tag{3}$$

이계 도함숫값이 양수이므로 $x=x_0$에서 극솟값을 가지고 이 값이 최솟값이다.

(2)를 만족하는 $x_0$를 간단하게 나타내기 어렵다.

$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} =\sin\theta_1$$

$$\frac{ l - x}{\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=\sin\theta_2$$

위에 있는 삼각비를 써서 (2)를 다시 정리하면 아래와 같다.

$$\therefore \frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0 \tag{4}$$

따라서 스넬의 법칙은 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.

$$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}$$

$$\frac{n_1\sin\theta_1}{c}=\frac{n_2\sin\theta_2}{c} $$

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law

Snell's law - Wikipedia