파스칼 법칙 Pascal's Law

옛날 이름난 수학자는 대부분 천재였다. 철학자나 신학자로 알려진 파스칼도 엄청나게 뛰어난 수학자다. 고등학교 책에 이항 정리를 배울 때 나오는 파스칼의 삼각형을 찾아냈을 때 나이는 13살이었다고 한다. 암튼 그동안 수학에 남긴 업적은 알고 있었는데 문제를 풀다가 물리에 남긴 업적도 알게 되어 정리해 둔다.

파스칼의 통 Pascal's barrel

옆에 있는 그림은 파스칼이 했다고 전해지는 실험을 보여주고 있다. 유체에 가해지는 힘이 전달되는 법칙을 보이기 위한 실험으로 '파스칼의 통(Pascal's barrel)'으로 부른다.

이 실험에서 그는 바닥에 놓인 통에 가늘고 긴 관을 수직으로 세우고 물을 채웠다. 사다리를 타고 높이 올라가 관에 압력을 주자 밑에 있는 통이 폭발하였다.

정의 Definition

파스칼의 원리는 다음과 같이 정의한다.

정지된 유체로 둘러싸인 점에 가해진 압력은 사라지지 않고 유체에 있는 모든 점에 전달된다.

용기로 둘러싸인 유체에 가해진 압력은 용기 안에 있는 모든 점에 똑같이 작용하고, 사라지지 않으며 경계인 용기에는 직각인 방향으로 작용한다.

대체 정의: 용기에 둘러싸인 액체에 가해진 압력은 사라지지 않고 모든 방향으로 동일하게 전달된다.

이것을 식으로 표현하면 아래와 같다.

$$\displaystyle {\Delta p=\rho g(\Delta h)}$$

$\displaystyle {\Delta p}$ 한 점에 주어지는 압력이나 높이가 다른 두 점에 가해지는 압력차; $\rho$ 유체 밀도; $g$ 중력 가속도; $\displaystyle {\Delta h}$ 측정하는 점 위 쪽에 있는 유체의 높이나 두 점의 높이차

아래 그림에 두 지점에 작용하는 압력은 같다. 압력은 단위가 파스칼이다. 이것이 수학자 이름인 파스칼일 줄은 몰랐다.

손잡이 있는 쪽을 a, 자동차가 있는 쪽을 b라고 하자. 압력, 힘, 넓이를 각각 $P,F,A$라고 하자.

$$P_a =P_b\quad\Rightarrow \frac{F_a}{A_a}=\frac{F_b}{A_b}$$

만약 넓이가 $A_b=50A_a$라면 $F_b=50F_a$이다. 따라서 손잡이에 $1N$의 힘을 가하면 자동차가 있는 쪽은 $50N$의 힘이 가해진다. 따라서 작은 힘으로 무거운 자동차를 들어 올릴 수 있다.

압력은 단위 면적에 가해지는 힘의 크기다. 이것을 정리하면 유체가 가하는 압력은 깊이에 비례함을 알 수 있다. 바닥에 있는 영역을 작게 나누었다고 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

$$P=\frac{F}{A}=\frac{mg}{A}=\frac{\rho V g}{A}=\frac{\rho A h g}{A}=\rho g h$$

$P$ 압력; $F$ 힘; $A$ 넓이; $\rho$ 밀도; $V$ 부피; $g$ 중력 가속도; $h$ 수면까지 높이

이 식에서 밑변 넓이가 같고 높이가 같은 용기에 액체가 가득 차 있다면 바닥에 작용하는 압력은 용기 모양에 상관없이 서로 같음을 확인할 수 있다. 

https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_law

Pascal's law - Wikipedia