현수선(Catenary)에 대하여

이 글은 맨 아래 연결해 놓은 위키피디아를 참고하여 적는다. 아래와 같이 가운데 교각을 세우지 않고 만든 다리를 현수교라고 부른다. 이런 이름으로 불리는 까닭은 늘어진 줄이 만드는 곡선이 바로 현수선이기 때문이다. 

현수선은 양 끝 점만 지지대에 걸쳐 있는 체인이나 케이블이 자체 무게에만 영향을 받아서 만드는 곡선이다. 

역사

현수선은 포물선과 아주 비슷한 U 모양이지만 포물선parabolar은 아니다. 현수선은 영어로 catenary인데 라틴어로 사슬chain을 뜻하는 말 catena에서 왔다. 아치 모양의 디자인에서 나타나고 현수면(catenoid: 평행인 원 모양 고리를 경계로 하는 비누 거품이 만드는 입체)를 자른 단면도 현수선이다. 여러 가지 이름으로 불리는 현수선은 고전 역학에서 걸려 있는 밧줄과 관계된 문제에 등장한다.

수학에서 현수선은 쌍곡 코사인 함수의 그래프이다. 갈릴레오는 '두 개의 새로운 과학 1675년'에서 걸려 있는 사슬이 만드는 곡선은 포물선일 것으로 생각했다. 실제로 걸려있는 각이 $45^o$보다 작은 곡률이 작은 현수선은 포물선과 아주 비슷함을 관찰하였다. 1671년 로버트 후크는 왕립 학회에 최적화된 아치 건설 문제를 해결했다고 알렸다. 1691년 야콥 베르누이의 도전에 대한 응답으로 라이프니츠, 호이겐스, 요한 베르누이가 방정식을 도출하였다.  1744년 오일러는 이 곡선으로 만든 회전체인 카테노이드가 최소 겉넓이를 가짐을 증명하였다.

미국 미조리주 세인트루이스에 있는 관문은 뒤집힌 현수선이다.

수학적 표현

직교 좌표로 현수선은 아래와 같은 방정식으로 나타낼 수 있다.

$$y=a \cosh \bigg(\frac{x}{a}\bigg)=\frac{a}{2} \bigg(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\bigg)$$

cosh는 hyperbolic cosine 함수고 $x$는 가장 낮은 점을 기준으로 삼는다. 모든 현수선은 매개변수 $a$에 따라 정해진다. 접선 기울기 $\tan \varphi$와 곡선 길이 $s$ 사이 관계는 아래와 같다.

$$\tan \varphi=\frac{s}{a}$$

미분하여 다르게 표현하면 아래와 같다.

$$\frac{d\varphi}{ds}=\frac{\cos^2 \varphi}{a}$$

$\varphi$를 소거하여 곡률을 구하면 아래와 같다.

$$\kappa=\frac{a}{s^2 +a^2}$$

곡률 반지름은 아래와 같다.

$$\rho=a\sec^2 \varphi$$

방정식 찾기

수학으로 해결하기 위해 사슬은 폭이 없는 선으로 생각하자. 그림과 같이 평행한 막대에 사슬이 걸려 있다고 하자. 사슬은 양 끝 점에 작용하는 장력 $T_0$와 $-T_0$가 평형을 이루고 있다. 사슬이 만드는 곡선(현수선)은 $\mathbf{r}=(x,y)=(x(s),y(x))$와 같이 호의 길이 $s$를 매개변수로 하여 나타낼 수 있다. 이것은 자연 매개화 곡선이므로 단위 접선 벡터 $\mathbf{u}$는 아래와 같다.

$$\frac{\mathbf{r}}{ds}=\mathbf{u}$$

현수선의 꼭짓점인 가장 아래에 있는 점을 $C$에서 $dy/dx=0$이다. $\mathbf{r}$은 점 $C$의 오른쪽에 있다고 가정하자. 왼쪽은 오른쪽과 대칭이다. 주어진 점에서 접선 벡터가 $x$축과 이루는 각을 $\varphi$라고 하면 접선 벡터는 $T\mathbf{u}=(T \cos \varphi, T\sin\varphi)$이다. 접선 벡터와 $c$에서 $\mathbf{r}$까지 사슬의 무게중심에 작용하는 중력 $-mg=-\lambda g s$과 $T_0$가 평형을 이룬다면 아래와 같은 관계가 성립한다.($m$: 사슬 질량, $\lambda$: 사슬 밀도, $g$: 중력가속도)

$$T\cos\varphi=T_0.\tag{1}$$

$$T\sin \varphi =\lambda gs.\tag{2}$$

두 식을 나누면 접선 기울기를 얻을 수 있다.

$$\frac{dy}{dx}=\tan\varphi=\frac{\lambda g s}{T_0}$$

계산을 편하게 하기 위해 $a=T_0/\lambda g$로 바꾸자.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{s}{a}$$

먼저 호의 길이를 구하는 공식에 대입하여 미분방정식을 만들어 보자.

$$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}=\frac{\sqrt{a^2 +s^2}}{a}$$

다시 정리하자.

$$\frac{dx}{ds}=\frac{a}{\sqrt{a^2 +s^2}}\tag{3}$$

$$\frac{d y}{ds}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{ds}=\frac{s}{\sqrt{a^2 +s^2}}\tag{4}$$

(4)를 적분하면 

$$y=\sqrt{a^2 +s^2}+\beta$$인데 $y$축 방향으로 평행이동하여 $\beta=0$라 생각할 수 있다.

$$y=\sqrt{a^2 +s^2},\quad y^2 =a^2 +s^2.\tag{5}$$

(3)을 적분하면 $s=a\sinh u,\quad ds=a\cosh u du$이므로 (참고: 쌍곡 함수)

$$x=\int \frac{dx}{ds}ds=\int \frac{a}{\sqrt{a^2 +s^2}}ds=\int \frac{a}{\sqrt{a^2(1+\sinh^2 u)}}a\cosh u du = \int a du=au+\alpha.$$

$$x=a \sinh^{-1}\bigg(\frac{s}{a}\bigg)+\alpha.$$

마찬가지로 상수 $\alpha=0$으로 놓자.

$$x=a \sinh^{-1} \bigg(\frac{s}{a}\bigg),\quad s=\sinh \bigg(\frac{x}{a}\bigg).\tag{6}$$

(5)에 대입하여 정리하자.

$$y=a \cosh \bigg(\frac{x}{a}\bigg).$$

$$y=\frac{T_0}{\lambda g}\cosh \bigg(\frac{\lambda g}{T_0}x\bigg).$$

다른 풀이는 아래를 참고하자.

https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

Catenary - Wikipedia