단조 수열 정리

정의

모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \leq M$인 실수 $M$이 있다면 수열 $\{a_n\}$은 위로 유계bounded from below되었다고 한다. 이때, 실수 $M$을 상계upper bound라 한다. 가장 작은 상계least upper bound를 상한supremum이라 한다. 

모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \geq m$인 실수 $m$이 있다면 수열 $\{a_n\}$은 아래로 유계bounded from below되었다고 한다. 이때, 실수 $m$을 하계lower bound라 한다. 가장 작은 하계greatest lower bound를 상한infimum이라 한다. 

상계와 하계가 모두 있다면 수열 $\{a_n\}$은 유계bounded라고 한다.

모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \leq a_{n+1}$이면 단조 증가monotonic increasing, $a_n \geq a_{n+1}$이면 단조 감소monotonic decreasing이라 한다. 수열 $\{a_n\}$은 단조monotonic이다.

모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \geq 0$이면 $s_{n+1}=s_n +a_n$이므로

$$s_1 \leq s_2 \leq s_3 \leq \cdots \leq s_n \leq s_{n+1}\leq \cdots$$

이다. 즉, 부분합 수열 $\{s_n\}$은 단조 증가이다.

그러므로 위 정리는 아래와 같은 따름 정리가 성립한다.

따름 정리

수열 $\{a_n\}$이 음이 아닌 항으로 이루어졌다면 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이 위로 유계이다.