2020학년도 카이스트 수학 면접 기출문제

$n$개의 실수 $x_1 ,x_2, x_3 , \cdots, x_n$이 주어졌다. (총 4점)

1) $n$개의 양의 실수 $w_1 ,w_2 , w_3 , \cdots , w_n$에 대해서 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}w_i (x_i -a)^2}$이 최소가 되는 상수 $a$의 값을 구하시오. (2점)

2) $x_1 \leq x_2 \leq\cdots \leq x_n$라 할 때, $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}|x_i -b|}$가 최소가 되는 상수 $b$의 값을 정하여라.

풀이

1) 주어진 수열의 합을 $a$에 의해 결정되는 함수로 생각하자.

$f(a)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}w_i (x_i -a)^2}$

이차함수이므로 미분계수가 $0$이 되는 $a$값을 구하면 된다.

$$f^{\prime}(a)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}2w_i (x_i -a)(-1)=0}$$

정리하면

$$\displaystyle{a=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i}}$$

• 추가설명

자료 조사를 한 다음 $x_i$인 자료가 $w_i$개 있다고 생각하고 구한 평균이다. 이 평균을 가중평균이라고 한다.

자료	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	계
도수	$w_1$	$w_2$	$\cdots$	$w_n$	$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}w_i}$
자료$\times$도수	$w_1x_1$	$w_2 x_2$	$\cdots$	$w_n x_n$	$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}w_i x_i}$

좌표가 $x_i$인 점에 질량이 $w_i$가 놓여 있다고 생각하자.

원점에 대한 모멘트 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}w_i x_i}$를 질량의 총합 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}w_i}$으로 나눈 값이므로 질량중심이다.

2) $n$이 작을 때부터 귀납적으로 살펴보면 쉽게 파악할 수 있다.

구하고자 하는 값은 $b$에 의해 결정되므로 아래와 같은 함수로 생각하자.

$$g(b)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}|x_i -b|}$$

$x_k \leq b \leq x_{k+1}$이라고 하자.

$i=1,2,\cdots,k$일 때, $|x_i-b|=-x_i +b$이므로 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}|x_i -b|=kb-\sum_{i=1}^{k}x_i}$이다.

$i=k+1,k+2,\cdots,n$일 때, $|x_i-b|=x_i -b$이므로 $\displaystyle{\sum_{i=k+1}^{n}|x_i -b|=-(n-k)b+\sum_{i=k+1}^{n}x_i}$이다.

$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}|x_i -b|=kb-\sum_{i=1}^{k}x_i+(k-n)b+\sum_{i=k+1}^{n}x_i=(2k-n)b+C}$$

• $n=2m$으로 짝수라면 $k=m=n/2$일 때, $b$가 $x_m$과 $x_{m+1}$ 사이일 때 기울기가 $0$이다. 따라서 구하는 $b$는 $x_m$과 $x_{m+1}$ 사이의 모든 값이다.
• $n=2m+1$로 홀수라면 $k=m=(n-1)/2$으로 $b$가 $x_m$과 $x_{m+1}$ 사이일 때 기울기가 $-1$이고, $b$가 $x_{m+1}$과 $x_{m+2}$ 사이일 때 기울기가 $1$이다. 따라서 구하는 $b$는 $x_{m+1}$로 유일하다.

이 값을 통계학에서 중앙값(median)으로 부른다.

아래 그림을 참고하자.