까마득한 옛날부터 사람들은 수에 관심을 가지고 있었다. 수를 인식하게 된 것도 아주 오래되었다. 고대 수메르(바빌로니아) 수학에서 자연수를 사용한 기록이 있다. 처음으로 자연수를 수학적으로 다루기 시작한 사람들은 그리스인이다. 특히 기원전 600년 경 피타고라스 학파에서 자연수를 깊이 연구하였다. 기원전 300년에 이르면 수에 대한 관심을 넘어 수를 도형과 관련지어서 생각하기 시작했다. 그렇게 수는 기하학으로 들어오게 되었다. 이제 고대 그리스인들이 수와 도형을 어떻게 연결하였는가를 살펴보기로 하자.
다각수의 시작
피타고라스는 삼각형 모양으로 위에서 아래로 돌을 1개, 2개, 3개, 4개를 늘어놓고 사람들에게 세도록 하였다. 그가 1, 2, 3, 4라고 세었을 때 피타고라스가 말했다.
"당신이 4라고 센 수는 실제로 10입니다. 이것은 삼각형으로 약속하기로 합시다."
피타고라스는 10을 특별한 수로 여겼는데 1은 점, 2는 선, 3은 면(삼각형), 4는 입체(삼각뿔)를 나타내고 이들 모두를 더한 정삼각형 모양의 수 10을 우주를 나타낸다고 생각했다.
다각수의 정의
이제 피타고라스를 따라 도형에 점을 배치한 수를 자세하게 살펴보자. 먼저 다각수를 아래와 같이 약속하자.
정의
다각수는 기하 도형 안에 배열한 점을 나타내는 수이다.
삼각수와 사각수는 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.
그리스인은 사각형의 넓이를 점을 세서 나오는 수로 생각했다. 아래 그림을 보자.
$$4+4+4=(1+2+3)+(1+2+3)=12$$
아주 자연스럽게 사각수는 삼각수를 더해서 얻을 수 있다. 피타고라스는 피타고라스 정리를 아래와 같이 증명했을 것으로 추측하고 있다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 직각을 끼고 이웃한 두 변과 빗변을 한 변으로 가지는 정사각형 넓이 사이의 관계를 정리한 것이다.
왼쪽에 있는 빨간 정사각형에 점을 배열하면 모두 몇 개인가를 밝히기 위해 오른쪽 그림과 같이 삼각수 $1+2+3$을 4번 뺀 나머지 부분에 점을 배열한다고 생각하면 된다.
$$?=3^2 +4^2=25$$
따라서 가운데 빨간 사각형은 한 변의 길이가 $5$인 정사각형이다. 물론 지금은 이렇게 증명하는 사람은 없겠지만 피타고라스가 살았던 때를 고려하면 상당한 수준이다.
훗날 1638년 페르마는 모든 자연수는 기껏해야 삼각수 3개, 사각수 4개, 오각수 5개, $n$각수 $n$개를 더해서 나타낼 수 있다고 말했지만 따로 증명은 발견되지 않았다. 뒤를 이어 가우스는 삼각수를 깊이 연구하고 1796년 7월 10일 일기에 아래와 같이 적었다. 가우스 때문에 페르마의 다각수 정리를 유레카 정리로 부르기도 한다.
누구나 다 아는 가우스에 얽힌 일화가 있다. 선생님이 1부터 100까지 모두 더하라는 문제를 내고 좀 쉬려고 했을 때, 가우스가 바로 "정답은 바로 5050입니다"를 외쳐서 모두를 놀라게 했다는 이야기다. 모두가 차례대로 더하고 있을 때 가우스는 아래와 같이 우아한 방법으로 셈을 하였다. 이때 나이가 겨우 7살이었다고 하니 놀라울 따름이다. 참고로 위에 있는 유레카 정리를 일기에 적은 때는 19살이었다.
성경에 '시작은 미약하였으나 끝은 창대하리라'는 구절이 있다. 수학이 딱 그렇다. 자연수에서 시작한 수학은 이제 꼭대기가 보이지 않는 거대한 산이 되었다. 당신은 어디 쯤 위치하고 있는가? 어쩌면 조금 만만해 보이는 정수론도 깊이 들어가면 장난이 아니다.
가우스처럼 천재였던 수학자 라마누잔과 얽힌 일화도 적어 둔다.
1918년 라마누잔이 입원했을 때 하디가 찾아왔다. 하디는 타고온 택시 번호가 1729로 매우 평범한 숫자였다고 말했다. 라마누잔은 바로 "그렇지 않아요. 매우 재밌는 숫자입니다. 서로 다른 세제곱수 2개를 더해서 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수거든요."라고 말했다.
$$1729=1^3 +12^3 =10^3 +9^3$$
이런 이야기를 듣고 있자면 그냥 평범하게 태어난 우리는 한없이 초라해진다. 하지만 용기를 내자. 천재는 노력 99% + 영감 1%로 만들어 진다.
