2021학년도 수능 수학 가형 29번

29번에 확률 통계 문제가 나오는 경우는 드물다. 교육과정에서 기하와 벡터가 빠진 영향일 것이다. 경우의 수도 문제에 따라서 상당히 까다롭게 여겨질 수 있지만 그래도 차근차근 분류하고 세면 무조건 답이 나온다는 확신만 있다면 충분히 풀 수 있다.

29. 네 명의 학생 $A,B,C,D$에게 검은색 모자 6개와 흰색 모자 6개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]

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(기) 각 학생은 1개 이상의 모자를 받는다.
(나) 학생 $A$가 받는 검은색 모자의 개수는 4개 이상이다.
(다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 $A$를 포함하여 2명뿐이다.

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문제를 읽자 마자 같은 모자를 구별하지 않는다는 조건에서 중복 조합을 쓰는 문제임을 쉽게 알 수 있다.

먼저 조건 (나)에 따라서 $A$가 받을 수 있는 검은 모자 수에 따라 경우를 나누면 된다. $A$가 받는 검은 모자 수를 $n$이라 하면 $n$은 $4,5,6$이 될 수 있다. 이 때 $n=6$인 경우는 조건 (다)에 따라 자동 탈락이므로 $4$개와 $5$개인 경우만 생각하면 된다.

먼저 검은 모자만 나누어 주는 경우는 아래와 같이 3가지 경우가 있다.

	$A$	$B$	$C$	$D$
1	$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$$	$$\blacksquare\blacksquare$$
2	$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare$$	$$\blacksquare$$	$$\blacksquare$$
3	$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare\blacksquare$$	$$\blacksquare$$

1. (가) 조건에 따라 일단 $C$와 $D$에게 흰 모자를 하나씩 나누어 주고 시작해야 한다. 조건 (다)에 따라 $A$, $B$는 검은 모자를 더 많이 받아야 한다. $A$, $B$가 받는 흰 모자의 개수를 순서쌍으로 나타내면 아래와 같다.

$(3,0),(2,0),(1,0),(0,0)$일 때, 남은 흰모자를 $C$와 $D$에게 나누어 주는 경우의 수는

$${}_2 H_1 +{}_2 H_2 + {}_2 H_3 +{}_2H_4=2+3+4+5=14$$

여기에 $C$와 $D$가 검은 모자 2개를 받는 경우까지 고려하면

$${}_3C_1\times 14=42\tag{1}$$이다.

마찬가지로 $(3,1),(2,1),(1,1),(0,1)$일 때, $B,C,D$가운데 검은 모자 2개와 흰모자 1개를 가지는 사람을 정하고 잇달아 나머지 흰모자를 검은 모자를 가지지 않은 두 사람에게 나누어 주는 경우의 수를 구하면 된다.

$${}_3C_1\times({}_2 H_0 +{}_2 H_1 + {}_2 H_2 +{}_2H_3)=3(1+2+3+4)=30\tag{2}$$

2. $B,C,D$ 검은 모자 1개와 흰모자 0개를 받는 사람을 정하고 나머지 둘에게 한 사람은 검은 모자 하나와 흰모자를 하나를 다른 한 사람은 흰모자를 하나 나누어 주고 난 다음 1과 같이 나머지 흰 모자를 나누어 주면 된다.

$${}_3P_2\times(  {}_2 H_1 +{}_2 H_2 + {}_2 H_3 +{}_2H_4)=6(2+3+4+5)=84\tag{3}$$

3. 마지막은 쉽다. $B,C,D$ 가운데 검은 모자 하나를 가지는 사람을 정하고 나머지 두 사람에게 흰 모자를 하나씩 나누어 주고 남은 흰모자를 배분하면 된다.

$${}_3C_1\times({}_2 H_0 +{}_2 H_1 + {}_2 H_2 +{}_2H_3+{}_2H_4)=3(1+2+3+4+5)=45\tag{4}$$

따라서 정답은 $$42+30+84+45=201.$$

$\blacksquare$