마방진(Magic Square)

수학 이야기 2007. 5. 21. 14:44
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마방진이란 정사각형 모양(`n \times n`)으로 배열된 `1,2,3, \cdots, n^2 `이 가로와 세로 대각선의 `n`개의 수의 합이 같아지는 배열을 말한다.

이 `n` 개수의 합은

$$M_2 (n)= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} k = \frac{1}{2} n(n^2 +1)$$

이며 마법수(magic constant)라고 부른다.
만들어진 마방진에서 `n^2 +1`에서 수들을 빼서 만들어지는 마방진을 서로 보완적인 마방진 (complementary magic square) 이라고 부른다. 1에서 시작되는 연속된 자연수들로 이루어진 것은 정규(normal) 마방진이라고 알려져 있다.

3차 마방진을 만드는 방법은 유일하며 고대 중국에서 알려졌다. '하'나라 우왕이 자주 범람하는 황하를 다스리기 위해 공사를 하고 있을 때 나타난 거북이 등에 그려져 있었다는 그림에서 유래한다.

아래 줄에 14와 15가 나란히 나오는 4차 마방진은 Durer's magic square라고 부르고 3차에서 8차까지의 마방진은 위와 같다.

정수`A`에서 시작하여 공차가 `D`인 등차수열로 이루어진 마방진의 마법수는 아래와 같다. (Hunter and Madachy 1975).
$$M_2 (n:A,D)= \frac{1}{2} n\big[2A +D(n^2 -1)\big]$$
`n=1,2,3,4,5`일 때, 서로 구별되는(회전하거나 뒤집어서 겹쳐지지 않는) 마방진의 수는 각각 `1,0,1,880,275305224`인 것이 알려져 있다. 4차 마방진의 수 880은 Frenicle de Bessy (1693)가 계산하였고, 5차는 R. Schroeppel (1973)가 컴퓨터로 구하였다.

6차 마방진의 개수를 구하는 것은 아직 해결되지 않았으나 Pinn과 Wieczerkowski(1998)은 몬테카를로의 방법을 사용하여 `(1.7745 \pm 0.0016)\times10^{19} `정도일 것으로 추정하였다.
하나 또는 두 개의 대각선의 합만이 마법수가 아닌 것을 유사마방진(semimagic square)이라고 부른다.

Kraitchik (1942) 는 Siamese method을 사용하여 홀수차 방진을 만드는 일반적인 기술을 소개하고 있다. 맨 위의 가운데에 1을 적은 다음 방진을 벗어나는 경우에는 정반대편에서 이어가는 매우 간단한 방식으로 화살표를 따라 수를 적어나가면 된다.

Wolfram MathWorld에서 자세히 보기

 

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mathworld.wolfram.com

우리나라에서도 방진 연구가 있었는데, 획기적인 공헌을 한 사람은 조선 후기 유학자이자 수학자인 최석정(호는 명곡, 1646-1715)이었다. 그의 책 ‘구수략’에는 3차에서부터 10차까지의 마방진이 서술돼 있는데, 특히 자신이 고안한 9차 마방진은 수학적 탁견을 보여준다. KAIST 수학과 한상근 교수와 대학원생이 공동연구한 결과, 최석정의 9차 마방진은 직교 라틴방진이라는 매우 명쾌한 이론 아래서 이루어진 것으로 그의 수학에 대한 이해와 독창성을 잘 드러내주고 있다. 이 마방진은 9행9열 대각선의 합이 3백69로 같음은 물론 이를 이루는 9개의 숫자로 이루어진 9개의 작은 셀(cell)이 다시 마방진을 이루는 특이한 구조로 돼 있다.

직교 라틴방진은 종횡으로 숫자가 겹치지 않게 배열하고 이러한 배열 두 쌍을 결합시켰을 때에도 겹치는 숫자쌍이 없는 방진이다. 최석정은 그의 책에서 2개의 9차 마방진을 제시하고 있는데 이를 만들기 위한 기초 작업으로 ‘구구모수변궁양도’(九九母數變宮陽圖)와 ‘구구모수변궁음도’(九九母數變宮陰圖)라고 하는 두 개의 직교 라틴방진을 제시했다. 이름 그대로 이 라틴방진을 ‘어머니 숫자’(모수)로 해 각 순서쌍을 변화시키면(변궁) 마방진이 만들어진다는 것이다. 한상근 교수는 최석정이 직교 라틴방진 뿐만 아니라, 3차 마방진 두 개를 결합해서 9차 방진을 만들어내는 현대수학자 아들러의 연산법도 알고 있었다고 말했다. 최석정은 그는 책에서 “이들은 (내가) 새로 만든 것이다”고 밝히고 있어 그의 수학실력에 경탄을 자아내게 한다.

 

최석정님의 방진 구경하기

퍼온곳 최석정님의 방진 구경하기

최석정 선생의 방진을 이해하면 독자적인 방진 만들기가 가능하다는 말이 빈말이 아님을 아래 방진을 보시면 이해가 될 것입니다.
워낙 독창성이 뛰어나 풀이에 애를 먹었습니다만 보람이 있군요.

( 9×9방진)의 특수성으로 1~n까지 순차적으로 적어놓은 상태에서 자리 값만 가지고 방진을 만들 수 있음을  보여줍니다. 3×3방진의 중복구조로 만들어진다는 사실을 보여주기 위해 만든 것으로 짐작되며. 특히 2번째는 배경색이 같은 곳에서 3차진의 기초수순(같은 색깔 부분)만으로 조합 시키는 것입니다.

이 방법을 다른 방향으로 해서 방진이 성립됨을 확인하기 위해서 아래에 게시합니다..
모든 경우에 가능하고 안에 있는 작은 아기방진도 가로 세로 부분[123 ]은 방진이 성립합니다.

 

1. 기초

[양휘 산법]

2. 결과[전체:369, 아기(부분)방진
내부-대각제외 가로세로 대각 방향 합이 모두 같다.]

 
9 8 7 6 5 4 3 2 1
18 17 16 15 14 13 12 11 10
27 26 25 24 23 22 21 20 19
36 35 34 33 32 31 30 29 28
45 44 43 42 41 40 39 38 37
54 53 52 51 50 49 48 47 46
63 62 61 60 59 58 57 56 55
72 71 70 69 68 67 66 65 64
81 80 79 78 77 76 75 74 73
 
31 76 13 36 81 18 29 74 11
22 40 58 27 45 63 20 38 56
67 4 49 72 9 54 65 2 47
30 75 12 32 77 14 34 79 16
21 39 57 23 41 59 25 43 61
66 3 48 68 5 50 70 7 52
35 80 17 28 73 10 33 78 15
26 44 62 19 37 55 24 42 60
71 8 53 64 1 46 69 6 51

1. 기초

[구수략]

2. 결과

[전체:369,부분(아기 방진):123
9 8 7 6 5 4 3 2 1
18 17 16 15 14 13 12 11 10
27 26 25 24 23 22 21 20 19
36 35 34 33 32 31 30 29 28
45 44 43 42 41 40 39 38 37
54 53 52 51 50 49 48 47 46
63 62 61 60 59 58 57 56 55
72 71 70 69 68 67 66 65 64
81 80 79 78 77 76 75 74 73
50 18 55 70 5 48 3 76 44
66 31 26 29 81 13 52 11 60
7 74 42 24 37 62 68 36 19
54 67 2 65 25 33 28 23 72
59 21 43 9 41 73 15 61 47
10 35 78 49 57 17 80 39 4
79 6 38 20 69 34 32 64 27
30 71 22 45 1 77 16 51 56
14 46 63 58 53 12 75 8 40

아래는 최석정 선생의 방진을 응용한 방진임.

이왕이면 변화가 있으면 좋겠지요.

1. 기초 2. 결과
[전체:369,부분(아기 방진):123
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
46 47 48 49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60 61 62 63
64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81
68 7 48 73 5 45 3 70 50
27 38 58 15 52 56 80 33 10
28 78 17 35 66 22 40 20 63
6 64 53 51 1 71 39 8 76
74 36 13 61 41 21 59 46 18
43 23 57 11 81 31 25 69 29
79 2 42 9 77 37 65 4 54
12 49 62 67 30 26 24 44 55
32 72 19 47 16 60 34 75 14

2.확장제곱방진(4배수제곱과 홀수(특히 소수)제곱 16,25,49,....)의 경우 위 방식이 가능함을 아래에 제시합니다.

전체 방진[2056]이 성립하고 아기(부분)방진도 가로 세로 부분[514]은 방진이 성립합니다.

1.기초
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112
113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128
129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176
177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192
193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208
209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256
2. 결과 [전체:2056,   부분(아기 방진):514
127 213 170 4 124 210 173 7 118 220 167 9 113 219 168 14
34 140 247 93 37 143 244 90 43 133 250 88 48 134 249 83
153 51 80 230 158 56 75 225 152 58 69 235 151 61 66 236
200 110 17 187 195 105 22 192 201 103 28 182 202 100 31 181
114 220 167 13 117 223 164 10 123 209 174 8 128 214 169 3
 47 133 250 84 44 130 253 87 38 144 243 89 33 139 248 94
152 62 65 235 147 57 70 240 157 55 76 226 154 52 79 229
201 99 32 182 206 104 27 177 196 106 21 191 199 109 18 188
120 222 161 11 115 217 166 16 125 215 172 2 122 212 175 5
41 131 256 86 46 136 251 81 36 138 245 95 39 141 242 92
146 60 71 237 149 63 68 234 155 49 78 232 160 54 73 227
207 101 26 180 204 98 29 183 198 112 19 185 193 107 24 190
121 211 176 6 126 216 171 1 116 218 165 15 119 221 162 12
40 142 241 91 35 137 246 96 45 135 252 82 42 132 255 85
159 53 74 228 156 50 77 231 150 64 67 233 145 59 72 238
194 108 23 189 197 111 20 186 203 97 30 184 208 102 25 179

더 큰 수의 조합은 직접 확인해 보시지요. 방진의 세계는 끝이 없습니다.

 

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  1. 꿈뜰이 2022.07.28 17:25 고치기 댓글

    조은 정보 감사함다~*^^*