옛날엔 초등학교를 국민학교로 불렀다. 그때는 수학이 아니라 산수였다. 어쩌면 그 시절 이름이 더 알맞은 이름이다. 초등학생은 그저 셈만 잘하면 된다고 본다. 아무튼 요즘은 산수(Arithmatic)와 수학(Mathmatic)을 구별하지 않고 모두 수학으로 부른다. 하지만 교과 과정을 살펴보면 중학교와 초등학교 수학은 크게 다르다. 가장 큰 차이점은 중학교에선 문자를 쓴다는 점이다. 이미 수학을 어느 정도 배운 이에겐 너무나도 쉬운 문제도 문자와 식을 처음 배우는 중학교 1학년 학생에겐 어렵다. 이 글은 문자와 식을 처음 배우는 중 1 학생을 위해서 쓴다.
문제 1. 아래와 같이 바둑돌을 배열한다고 하자.
1-1 4단계에서 필요한 바둑돌은 모두 몇 개인가?
1-2 10단계에서 필요한 바둑돌은 모두 몇 개인가?
1-3 100단계에서 필요한 바둑돌은 모두 몇 개인가?
풀이 1-1은 그냥 그림을 그리고 바둑돌 개수를 세면 13개임을 쉽게 알 수 있다. 1-2도 천천히 그림을 그려서 세면 된다. 하지만 언제나 그러하듯이 우리에게는 시간이 많지 않다. 더군다나 1-3과 같은 문제를 그림을 그려서 해결하려면 너무나 귀찮고 번거롭고 짜증이 난다. 뭔가 다른 방법이 필요하다. 바로 이 순간 수학이 필요한 순간이다.
각 단계에서 늘어나는 빨간 바둑돌은 모두 4이다. 따라서 규칙을 찾아 아래와 같이 나타낼 수 있다.
단계
바둑돌 개수
$1$
$1$
$2$
$1+4=5$
$3$
$1+4+4=1+2\times 4=9$
$4$
$1+4+4+4=1+3\times 4=13$
$\vdots$
$\vdots$
$10$
$1+9\times 4=37$
$\vdots$
$\vdots$
$n$
$1+(n-1)\times 4=4n-3$
$100$
$4\times 100-3 =397$
여기에서 단계를 문자 $n$을 써서 나타내는 것이 핵심이다. 이렇게 특정한 숫자를 넣을 자리를 문자를 써서 나타내면 어려운 말로 일반적으로 나타냈다고 한다. 흔히, 공식(formula)을 찾았다고 말한다. 이렇게 공식을 찾으면 어떤 수가 와도 두렵지 않다. 2021단계도 간단한 계산으로 구할 수 있게 되었다. 이게 바로 수학이다. 수학의 강력한 힘은 문자를 써서 만든 공식에서 나온다.
익숙한 이에게 참으로 쉬운 일이지만 이게 쉽지 않은 사람이 많아도 너무 많다. 위 표에서 1, 2, 3, 4단계를 단순하게 계산하지 말고 규칙을 찾으려고 노력하자. 아! 각 단계에서 4씩 더해지는구나? 10단계는 1에 4를 9번 더해서 나오는 것을 찾아내고 마침내 $n$단계를 찾아내는 경험이 쌓이면 수학이 엄청나게 쉬워진다. 힘들어도 도전을 멈추지 말자.
문제 2. 텃밭이 있다. 아래와 같이 정사각형 타일로 둘레를 꾸미려고 한다.
1-1 위 그림에 있는 정사각형 타일은 모두 몇 개인가?
1-2 더 넓은 텃밭이 있어서 한 변에 29개 타일을 놓을 수 있다면 모두 몇 개의 타일이 필요한가?
1-3 한 변에 $n$개 타일을 놓을 때 필요한 타일의 개수를 식으로 나타내어라.
문제를 조금 더 어렵게 만들어 보자.
문제 3. 아래와 같이 정사각형 모양으로 점을 배열하려고 한다.
1-14단계에서 필요한 바둑돌은 모두 몇 개인가?
1-2 10단계에서 필요한 바둑돌은 모두 몇 개인가?
1-3 100단계에서 필요한 바둑돌은 모두 몇 개인가?
고대 그리스 수학자들도 이렇게 규칙을 찾는 일을 즐겼다. 그들이 도전했던 문제인 다각수에 도전해 보자.
문제 삼각형 모양으로 점을 배열할 때 나오는 수를 '삼각수'라고 한다. 아래는 4단계까지 '삼각수'를 나타낸 그림이다. 차례로 적으면 $1, 3, 6, 10, \cdots$이다.
1-1 5단계 삼각수를 구해보자.
1-2 각 단계에서 늘어나는 점의 개수를 찾아보자.
1-3 $n$단계 삼각수를 구하는 공식을 찾아보자.
자 여기까지 모두 성공했나요? 당신이 중학생이라면 이제 충분한 수준에 도달했다. 이제 수학 시험에서 100점 맞는 일을 즐기기만 하면 된다.^^
