점이란 무엇인가?

수학 이야기/중학교 수학 2021. 8. 26. 15:46
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아래 그림에서 점은 어느 것인가?

A와 B를 점이라고 보는 이는 많지 않으나 C와 D는 점이라고 보는 이가 많을 것이다. 대부분 E는 점으로 생각할 것이다. 기하학 원론을 쓴 유클리드도 고민했을 것이다. 점을 어떻게 정의할 것인가? 유클리드는 '원론'에서 첫 번째 약속으로 점을 아래와 같이 정의하였다.

점은 부분이 없는 것이다. A point is that which has no part.

달리 말하면 점은 더 작은 것으로 쪼갤 수 없다는 말이다. 아마도 점을 먼저 생각하지 않고 면이나 선을 먼저 추상화하고 난 다음 생각했을 것이다. 직선을 잘라서 선분을 만들고 선분을 계속해서 이등분하는 상황을 생각해 보자. 어느 순간이 되면 조각난 선분은 선분이 가진 성질(길이가 있다.)을 잃어버리고 말 것이다. 아무리 맛있는 피자라도 백만 조각으로 나누면 맛이 전혀 느껴지지 아주 작은 조각이 되고 말 것이다. 이것을 피자라고 부를 수 있을까? 점을 종이 위에 찍는 순간 점이 아닌 것이 된다. 위 그림에서 F는 보이지 않지만 위치가 있다면 유클리드가 정의한 점에 꼭 들어맞는다. 이렇게 따지다 보면 플라톤이 말했다는 '이데아'가 떠오른다.

이데아론은 플라톤이 처음 주장한 형이상학 이론이다. 플라톤에 따르면, 이데아는 현상 세계 밖에 있는 세상이며 이데아는 모든 사물의 원인이자 본질이다. 예를 들면 인간의 이데아는 현실 세계의 인간에 대한 원인으로, 인간의 이데아가 있기 때문에 현상 세계에 인간이 실재하는 것을 들 수 있다. 또한, 중요한 것은 현상 중요 세계에서 모든 것들은 낡고 사라지는 것에 반해, 시간에도 그 모습을 변치 않으며 현상 세계의 사물들이 궁극적으로 되고자 하는 것이 이데아라는 점이다. 이데아론에서 이데아는 오로지 인간의 이성으로만 알 수 있으며, 원래 인간이 있던 곳이다. 그런데 인간이 현실세계로 올 때 레테의 강을 건너면서 이데아 세계에 대한 기억을 상실하여 이데아를 기억해 내지 못한다고 주장한다. https://ko.wikipedia.org/이데아론
플라톤은 ⟪파이돈⟫부터 스승 소크라테스의 사상에서 독립하여 이데아론이라고 불리는 독자적인 학설을 제창하였다. 우리가 삼각형을 생각할 경우에 현실적으로 삼각형을 아무리 정확하게 그린다고 해도 어느 하나도 완전하게 그려 낼 수 없다. 그것은 이미 한 변의 직선마저 완전하게 긋지 못하기 때문이다. 그럼에도 불구하고 우리는 완전한 직선, 완전한 삼각형이 있음을 부정하지 않으며 그 존재를 인정하고 계산도 하여 답을 구한다. 결국 현실에서는 눈으로 볼 수는 없지만 그 존재를 인정하고 있는 셈이다. 현실의 삼각형은 이 이데아를 인정하는 까닭에 삼각형으로 인식할 수가 있다고 하겠다. 수학의 대상뿐만 아니라 선(善)의, 미(美)의, 용기의 이데아라는 것도 거기에서 생각해 낼 수 있다. 현실적으로는 완전한 선은 좀처럼 찾아볼 수가 없으나 완전한 선의 이데아는 틀림없이 있을 것이다. 만약 그렇지 않다면 그것보다 이것이 낫다고 하는 비교는 할 수 없게 된다. 아름다운 꽃은 조락(凋落)하고 아름다운 경치가 폐허가 되어도 아름다움 자체는 그것 때문에 없어지지 않는다. 이것이 미의 이데아이다. 이 미의 이데아에 현실의 개체가 의탁될 때에 비로소 아름다운 개체가 된다. 즉 미의 이데아는 아름다운 개체의 원인이다. https://ko.wikipedia.org/플라톤

유클리드 원론에서 선과 면은 어떻게 정의하고 있을까?

선은 폭이 없는 길이이다. A line is breadthless length.

면은 길이와 폭만 가진 것이다. A surface is that which has length and breadth only.

점은 아무것도 없는 것이지만 움직이면 길이를 얻어서 선이 된다. 선이 움직여 폭을 얻으면 면이 된다. 굽은 선은 곡선이요 곧은 선은 직선이다. 직선은 평면을 만들고 곡선은 곡면을 만든다. 면이 움직이면 입체가 된다. 모든 것이 점에서 비롯된다. 점, 선, 면을 알면 세상 모든 것을 이해할 수 있다.

다시 첫 질문으로 되돌아 가자. 레테의 강을 건너 버린 인간은 이데아 세계를 바로 이해하기 어렵다. 불완전해도 우리는 어쩔 수 없이 점을 찍어야 점을 볼 수 있다. 대신에 우리는 불완전한 것을 완전한 것으로 생각할 수 있는 힘을 가졌다. 위에 있는 A, B, C, D, E, F 모두를 점이라고 해도 문제는 없다. 부분이 없다고 생각하면 그만이다. 여기에서 바로 수학의 자유가 태어난다. 굽은 선을 그려 놓고 직선으로 불러도 문제는 없다. 자가 없어도 직선을 그을 수 있고, 컴퍼스 없이도 원을 그릴 수 있다.

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