원론(Euclid's Elements) 1권

수학 이야기/유클리드 원론 2012. 6. 25. 15:06
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우연히 알게 된 'Euclid's Elements'에서 옮겨다 놓고 하나씩 우리말로 옮겨볼까 생각하고 있다. 연결된 사이트에서 그림을 보기 위해서는 자바(java) 프로그램 구성에서 보안 설정을 바꿔 주어야 한다.

Table of contents

Definitions 정의

Definition 1.

A point is that which has no part.
은 부분이 없는 것이다. 다르게 말하면 더는 쪼갤 수 없다는 것이다. 왜 이렇게 부분이 없다고 정의했을까? 점에서 선이나 면으로 나간 것이 아니라 면이나 선에서 시작해서 점을 추상화하고 다시 선과 면을 추상해 나간 것이 아닐까 생각한다. 아무튼 점은 길이나 폭이 없고 그저 위치만이 있을 뿐이다.
Definition 2.
A line is breadthless length. 
은 폭이 없는 길이이다. 선은 점이 움직여 간 것으로 생각하면 된다. 물론 선이 가지고 있는 완비성(completeness)까지 도달하지는 못했지만 직관이 아닌 추상으로 선을 정의한 점은 높이 사야 한다.
Definition 3.
The ends of a line are points.
선은 점으로 끝난다. 선을 자르면 그 맨끝에는 점들이 있다는 말이다.
Definition 4.
A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
직선은 점들이 한결같이 고르게 놓인 것이다. 직선은 울퉁불퉁하지 않은 곧은 선이라는 말이다. 오늘날은 직선을 line으로 곡선은 curve로 부르고 있다.
Definition 5.
A surface is that which has length and breadth only.
은 길이와 폭 만을 가진 것이다. 선과 마찬가지로 면은 선이 옆으로 움직여간 것이라고 생각하면 좋겠다.
Definition 6.
The edges of a surface are lines.
면의 모서리는 선이다. 선이 점으로 끝나는 것과 마찬가지다. 면을 자르면 맨끝에는 선들이 있다.
Definition 7.
A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.
평면은 직선이 고르게 펼쳐진 것이다.
Definition 8.
A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.
같은 평면에 놓인 서로 다른 두 선이 한 점에서 만날 때, 두 선 서로에 대한 기울기가 평면각이다.
바로 이어지는 9번에 직선각을 따로 언급하였으므로 평면각은 곡선을 변으로 가질 수도 있다. 오늘날 각에 대한 정의보다 넓은 의미를 품고 있다.
Definition 9.
And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilinear.
각을 품은 선들이 직선일 때, 각은 직선각(직선으로 싸인 각)이라고 한다.
Definition 10.
When a straight line standing on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.
직선에 서 있는 한 직선이 만드는 이웃한 각이 서로 같을 때, 두 각은 직각이다. 그리고 다른 직선에 서 있는 직선을 수선이라고 부른다.
Definition 11.
An obtuse angle is an angle greater than a right angle.
직각보다 큰 각은 둔각(무딘각)이다.
Definition 12.
An acute angle is an angle less than a right angle.
직각보다 작은 각은 예각(뾰족각)이다.
Definition 13.
A boundary is that which is an extremity of anything.
경계는 어떤 것의 끝단이다.
Definition 14.
A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.
도형은 경계 또는 경계들을 포함한 것이다.
Definition 15.
A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure equal one another.
은 한점에서 도형까지 이은 직선이 모두 길이가 같은 하나의 선을 품은 평면 도형이다. 한 정점에서 거리가 일정한 점들의 집합이 바로 원이다.
Definition 16.
And the point is called the center of the circle.
바로 그 점이 원의 중심이다.
Definition 17.
A diameter of the circle is any straight line drawn through the center and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.
원의 지름은 중심을 지나 양쪽으로 원둘레에 다다를 때까지 그린 직선이다. 지름은 원을 이등분한다.
Definition 18.
A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the center of the semicircle is the same as that of the circle.
반원은 지름과 지름으로 잘린 원주를 포함한 도형이다. 반원과 원은 중심이 같다.
Definition 19.
Rectilinear figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.
직선 도형(변형)은 직선들로 이루어졌다. 셋이 있는 삼변형, 넷이 있는 사변형, 넷보다 많은 다변형이 있다. 요즘 말로하면 다각형이라고 옮기면 된다.
Definition 20.
Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.
삼변형에서 세변이 모두 같으면 정삼각형 두변이 같으면 이등변 삼각형 셋이 모두 다른 것은 부등변 삼각형이다.
Definition 21.
Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acute-angled triangle that which has its three angles acute.
직각이 있으면 직각삼각형 둔각이 있으면 둔각삼각형 세각이 모두 예각이면 예각삼각형이다.
Definition 22.
Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.
사변형에서 네변이 같고 각이 모두 직각이면 정사각형, 네각은 직각이지만 변이 같지 않으면 직사각형, 네변은 같지만 각이 다르면 마름모, 마주보는 각이 같지만 직각이 아니면 평행사변형, 모두 다르면 부등변사변형이다.
Definition 23
Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.
평행선은 양쪽으로 끝없이 늘려도 어떤 쪽에서도 서로 만나지 않는 같은 평면에 있는 두 직선이다.

Postulates 공준

Let the following be postulated:공준과 아래 공통 관념을 모두 오늘날은 공리(Axiom)라고 부른다.

Postulate 1.
To draw a straight line from any point to any point.
임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 그릴 수 있다.
임의의 두 점이 있으면 그 두 점을 끝점으로 하는 선분 하나를 그릴 수 있다. 선분 위 점들은 모두 끝점 사이에 있다고 생각한다.
Postulate 2.
To produce a finite straight line continuously in a straight line.
선분을 이어서 직선을 만들 수 있다.
선분을 한 없이 늘여서 직선을 만들 수 있음을 말한다.
Postulate 3.
To describe a circle with any center and radius.
임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다. 
이 공리는 원을 그리기 위해 반지름을 나타내는 선분을 움직여도 선분 길이가 달라지지 않도록 공간상의 거리가 정의되었음을 함축한다.
Postulate 4.
That all right angles equal one another.
모든 직각은 서로 같다.
직각은 직선이 다른 직선과 만날 때 교점에서 바로 옆에 있는 각이 서로 같을 때 만들어지는 각이다. 한 직선이 다른 직선과 수직으로 만날 때 교차각이 모두 90도인 것이다. 그러나 정의만 보면 반드시 그렇다고 할 수 없다. 심지어 정의에는 각이 항상 같은 수가 된다는 것조차 명시되어 있지 않다. 두 직선이 어떤 특정 지점에서 만나면 교차각이 90도이고, 다른 지점에서 만나면 다른 값이 되는 세상을 상상할 수 있다. 그러므로 모든 직각은 같다는 공리는 이런 일이 벌어지지 않음을 단언하는 것이다. 다시 말해 이 공리는 직선이 어느 부분에서나 같은 모양이라는 것, 즉 곧음(straightness) 조건을 말하고 있는 것이다.
Postulate 5.
That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.
두 직선과 한 직선이 만날 때 있는 두 직선을 한없이 늘리면 같은 쪽에 있는 내각을 더해서 직각 둘(180도)보다 작은 쪽에서 만난다.
다른 공준들은 간단하지만 이 공준은 좀 길다. 훗날 이 다섯째 공준이 혹시 다른 공준들로 증명할 수 있는 정리가 아닐까 생각한 이들이 있었다. 증명에 나섰던 이들이 증명은 찾지 못하고 찾아낸 기하학이 바로 비-유클리드 기하학(Non-Euclidean geometry)이다. 이 공준은 '한 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 단 하나뿐이다.'라는 공리와 같은 공준인데 이 때 단 하나가 아니라 '없다'거나 '무수히 많다'로 바꾸어도 새로운 공리계를 이룬다는 걸 알아냈다. 차례로 타원 기하학과 쌍곡선 기하학이다.

Common Notions 공통 관념

Common notion 1.
Things which equal the same thing also equal one another.
똑같은 것과 같은 것들은 서로 같다.
Common notion 2.
If equals are added to equals, then the wholes are equal.
같은 것에 같은 것을 더하면 그 더한 전체는 여전히 같다.
Common notion 3.
If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
같은 것에서 같은 것을 덜어내어도 그 나머지들은 여전히 같다.
Common notion 4.
Things which coincide with one another equal one another.
포개어서 같은 것들은 서로 같다. 다시 말해 평행이동이나 대칭이동하여 완전히 포개지는 것들은 서로 같은 것이다.
Common notion 5.
The whole is greater than the part.
전체는 부분보다 크다.
 

공통 관념은 한종류의 양(magnitude)에 대한 것이다. 원론에는 직선, 각, 평면도형, 입체가 가지는 다양한 양이 있다. 길이, 각의 크기, 넓이, 부피가 그것이다. 다른 종류의 양은 서로 같다고 하거나 서로 더할 수 없다. 길이를 직사각형 넓이에 더하거나 하는 일은 생각하지 않는다. 삼각형 넓이와 직사각형 넓이가 같고 직사각형 넓이와 정사각형 넓이가 같다면 삼각형과 정사각형 넓이가 같다고 말한다는 것이다. 5번은 어떤 양 $B$가 $A$의 부분이라면 다른 나머지 양 $C$가 있다는 것이다. 달리 표현하면 $A>B$이면 $A=B+C$를 만족하는 $C$가 존재한다 것이다.   

Propositions 명제

Proposition 1.
To construct an equilateral triangle on a given finite straight line.
주어진 선분을 변으로 하는 정삼각형을 만들 수 있다.

주어진 선분 $AB$를 반지름으로 두 점 $A,B$를 중심으로 하는 두 원을 그릴 수 있다. 두 원의 교점을 $C$라고 하자. [공준 3] 두 점 $A$와 $C$, $B$와 $C$를 잇는 선분을 그릴 수 있다.[공준 2] $\overline{AB}=\overline{AC}$이고 $\overline{AB}=\overline{BC}$이다. 공통관념 1에 따라 $\overline{AC}=\overline{BC}$이다. 정삼각형을 작도하였다. 사실 여기에 살짝 부족함은 있다. 두 원이 교차할 때 만나는 점이 반드시 존재한다고 하려면 선이 완비성을 가지고 있다는 공리가 필요하다. 이 부분은 훗날 수학자가 완비성 공리로 보완하였다.

 

Proposition 2.
To place a straight line equal to a given straight line with one end at a given point.
주어진 선분과 같은 선분을 주어진 한 점을 끝점으로 하여 만들 수 있다.
 
Proposition 3.
To cut off from the greater of two given unequal straight lines a straight line equal to the less.
서로 다른 선분이 있을 때 작은 것과 같은 선분으로 큰 것을 자를 수 있다.
Proposition 4.
If two triangles have two sides equal to two sides respectively, and have the angles contained by the equal straight lines equal, then they also have the base equal to the base, the triangle equals the triangle, and the remaining angles equal the remaining angles respectively, namely those opposite the equal sides.
두 삼각형에서 두변과 사이에 낀 각이 서로 같다면 나머지 변과 각들은 서로 같다. 다시 말하면 합동(congruence)이다.
Proposition 5.
In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another.
이등변 삼각형에서 두 밑각은 서로 같다. 두 밑각 아래에 있는 외각도 서로 같다.
Proposition 6.
If in a triangle two angles equal one another, then the sides opposite the equal angles also equal one another.
삼각형에서 두 각이 서로 같다면 마주보는 변들이 서로 같다.
Proposition 7.
Given two straight lines constructed from the ends of a straight line and meeting in a point, there cannot be constructed from the ends of the same straight line, and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each equal to that from the same end.
선분의 양 끝 점 시작해서 한 점에서 만나는 두 직선을 그었다면, 같은 선분의 양 끝 점에서 주어진 두 직선과 각각 같은 직선으로 같은 쪽에 있는 다른 점에서 만나게 할 수는 없다.  
Proposition 8.
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and also have the base equal to the base, then they also have the angles equal which are contained by the equal straight lines.
두 삼각형이 두 변이 서로 같고 밑변도 서로 같다면 각도 서로 같다.
Proposition 9.
To bisect a given rectilinear angle.
직선이 만나서 이루는 각을 이등분 할 수 있다.
Proposition 10.
To bisect a given finite straight line.
선분의 이등분을 할 수 있다.
Proposition 11.
To draw a straight line at right angles to a given straight line from a given point on it.
직선 위에 주어진 점에서 수직인 직선을 그을 수 있다.
Proposition 12.
To draw a straight line perpendicular to a given infinite straight line from a given point not on it.
직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 주어지면 그 점을 지나고 직선에 수직인 직선을 그을 수 있다.
Proposition 13.
If a straight line stands on a straight line, then it makes either two right angles or angles whose sum equals two right angles.
두 직선이 만나면 이직각(180도)을 이루거나 두 각의 합이 이직각을 이룬다.
Proposition 14.
If with any straight line, and at a point on it, two straight lines not lying on the same side make the sum of the adjacent angles equal to two right angles, then the two straight lines are in a straight line with one another.
어떤 직선 위에 있는 한 점에서 같은 쪽에 있지 않고 이루는 각의 합이 이직각인 두 직선이 있다면 두 직선은 서로를 품고 있다.
Proposition 15.
If two straight lines cut one another, then they make the vertical angles equal to one another.
두 직선이 서로를 자르면 마주보는 각(맞꼭지각)은 서로 같다.
 

Corollary. If two straight lines cut one another, then they will make the angles at the point of section equal to four right angles.

두 직선이 서로를 자르면 직각 넷으로 나누어진 부분으로 만들 수 있다.

 

Proposition 16.
In any triangle, if one of the sides is produced, then the exterior angle is greater than either of the interior and opposite angles.
어떤 삼각형이든 변이 있다면 외각은 건너편 내각보다 크다.
Proposition 17.
In any triangle the sum of any two angles is less than two right angles.
어떤 삼각형이든 두 각의 합은 180보다 작다.
Proposition 18.
In any triangle the angle opposite the greater side is greater.
어떤 삼각형이든 마주보는 변이 큰 각이 더 크다.
Proposition 19.
In any triangle the side opposite the greater angle is greater.
어떤 삼각형이든 마주보는 각이 더 큰 변이 더 크다.
Proposition 20.
In any triangle the sum of any two sides is greater than the remaining one.
어떤 삼각형이든 두 변의 합은 나머지 한 변보다 크다.
Proposition 21.
If from the ends of one of the sides of a triangle two straight lines are constructed meeting within the triangle, then the sum of the straight lines so constructed is less than the sum of the remaining two sides of the triangle, but the constructed straight lines contain a greater angle than the angle contained by the remaining two sides.
한 변의 양 끝 점에서 삼각형 안에서 만나는 두 직선을 그으면, 두 직선이 만든 변의 합은 다른 두 변의 합보다 크고 두 직선이 이루는 각은 두 변이 이루는 각보다 크다. 
Proposition 22.
To construct a triangle out of three straight lines which equal three given straight lines: thus it is necessary that the sum of any two of the straight lines should be greater than the remaining one.
주어진 세 선분으로 이루어진 삼각형을 그릴 수 있다. 단, 두 선분의 합이 나머지 다른 변보다 커야만 한다.
Proposition 23.
To construct a rectilinear angle equal to a given rectilinear angle on a given straight line and at a point on it.
한 직선 위의 점에서 주어진 각과 같은 각을 그릴 수 있다.
Proposition 24.
If two triangles have two sides equal to two sides respectively, but have one of the angles contained by the equal straight lines greater than the other, then they also have the base greater than the base.
두 변이 서로 같은 두 삼각형에서 두 변이 이루는 각이 어느 한쪽이 크다면 마찬가지로 밑면도 한 쪽이 크다. 
Proposition 25.
If two triangles have two sides equal to two sides respectively, but have the base greater than the base, then they also have the one of the angles contained by the equal straight lines greater than the other.
두 변이 서로 같은 두 삼각형에서 밑변은 어느 한쪽이 더 크다면 두 변이 이루는 각도 어느 한 쪽이 더 크다. 
Proposition 26.
If two triangles have two angles equal to two angles respectively, and one side equal to one side, namely, either the side adjoining the equal angles, or that opposite one of the equal angles, then the remaining sides equal the remaining sides and the remaining angle equals the remaining angle.
두 각이 각각 같고 한 변이 같은 두 삼각형은(서로 같은 변이 두 각과 모두 만나거나 건너편에 있는 변이라도) 나머지 각과 변도 서로 같다.
Proposition 27.
If a straight line falling on two straight lines makes the alternate angles equal to one another, then the straight lines are parallel to one another.
두 직선이 다른 한 직선과 만나서 이루는 엇각이 서로 같다면, 두 직선은 서로 평행하다.
Proposition 28.
If a straight line falling on two straight lines makes the exterior angle equal to the interior and opposite angle on the same side, or the sum of the interior angles on the same side equal to two right angles, then the straight lines are parallel to one another.
두 직선과 다른 한 직선이 만나서 이루는 동위각이 서로 같거나 같은 쪽에 있는 내각의 합이 180이면, 두 직선은 서로 평행하다.
Proposition 29.
A straight line falling on parallel straight lines makes the alternate angles equal to one another, the exterior angle equal to the interior and opposite angle, and the sum of the interior angles on the same side equal to two right angles.
평행한 두 직선과 한 직선이 만나서 이루는 엇각과 동위각은 서로 같고 같은 쪽 내각의 합은 180이다.
Proposition 30.
Straight lines parallel to the same straight line are also parallel to one another.
같은 직선에 평행한 두 직선은 서로 평행하다.
Proposition 31.
To draw a straight line through a given point parallel to a given straight line.
주어진 점을 지나고 주어진 직선과 평행인 직선을 그을 수 있다. 
Proposition 32.
In any triangle, if one of the sides is produced, then the exterior angle equals the sum of the two interior and opposite angles, and the sum of the three interior angles of the triangle equals two right angles.
어떤 삼각형이든 한 변으로 만들어지는 외각은 맞은 편 두 내각의 합과 같고 삼각형 세 내각의 합은 180이다. 
Proposition 33.
Straight lines which join the ends of equal and parallel straight lines in the same directions are themselves equal and parallel.
평행하고 길이가 같은 두 선분의 끝 점을 같은 방향으로 이은 두 직선은 서로 평행하다.
Proposition 34.
In parallelogrammic areas the opposite sides and angles equal one another, and the diameter bisects the areas.
평행사변형에서 마주 보는 변과 각은 서로 같고 대각선은 넓이를 이등분한다.
Proposition 35.
Parallelograms which are on the same base and in the same parallels equal one another.
같은 밑변을 가지고 같은 평행선을 가지는 평행사변형은 넓이가 같다.
Proposition 36.
Parallelograms which are on equal bases and in the same parallels equal one another.
밑변의 길이가 같고 같은 평행선을 가지는 평행사변형은 넓이가 같다.
Proposition 37.
Triangles which are on the same base and in the same parallels equal one another.
같은 밑변을 가지고 꼭짓점이 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형은 넓이가 같다.
Proposition 38.
Triangles which are on equal bases and in the same parallels equal one another.
밑변 길이가 같고 꼭짓점이 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형은 넓이가 같다.
Proposition 39.
Equal triangles which are on the same base and on the same side are also in the same parallels.
공통 밑변을 가지고 같은 쪽에 꼭짓점이 있는 넓이가 같은 두 삼각형은 같은 평행선 위에 꼭짓점이 있다.
Proposition 40.
Equal triangles which are on equal bases and on the same side are also in the same parallels.
밑변 길이가 같고 같은 쪽에 꼭짓점이 있는 넓이가 같은 삼각형은 서로 평행하다.
Proposition 41.
If a parallelogram has the same base with a triangle and is in the same parallels, then the parallelogram is double the triangle.
평행사변형이 삼각형과 같은 밑변을 가지고 평행이면 평행사변형은 삼각형 크기의 두 배이다.
Proposition 42.
To construct a parallelogram equal to a given triangle in a given rectilinear angle.
주어진 각을 가지는 삼각형과 넓이가 같고 같은 각을 가진 평행사변형을 만들 수 있다.
Proposition 43.
In any parallelogram the complements of the parallelograms about the diameter equal one another.
평행사변형 안에 대각선 길이가 같은 평행사변현 쌍이 있다.
Proposition 44.
To a given straight line in a given rectilinear angle, to apply a parallelogram equal to a given triangle.
어떤 직선, 각 그리고 삼각형을 주었을 때, 주어진 직선과 각을 가지며 삼각형과 넓이가 같은 평행사변현을 만들어라. 
Proposition 45.
To construct a parallelogram equal to a given rectilinear figure in a given rectilinear angle.
어떤 다각형과 각을 주었을 때, 그 다각형과 넓이가 같고 주어진 각을 가지는 평행사변형을 만들어라.
Proposition 46.
To describe a square on a given straight line.
주어진 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 만들어라. 
Proposition 47.
In right-angled triangles the square on the side opposite the right angle equals the sum of the squares on the sides containing the right angle.
직각삼각형에서 직각과 마주 보는 변을 가지고 정사각형을 만들면, 넓이는 나머지 다른 변으로 만든 정사각형 넓이를 더한 것과 같다.
Proposition 48.
If in a triangle the square on one of the sides equals the sum of the squares on the remaining two sides of the triangle, then the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.
어떤 삼각형이 있는데, 한 변을 가지고 만든 정사각형의 넓이가 다른 변으로 만든 두 정사각형 넓이를 더한 것과 같다면 다른 두 변 사이의 각은 직각이다.

Guide

About the Definitions

The Elements begins with a list of definitions. Some of these indicate little more than certain concepts will be discussed, such as Def.I.1, Def.I.2, and Def.I.5, which introduce the terms point, line, and surface. (Note that for Euclid, the concept of line includes curved lines.) Others are substantial definitions which actually describe new concepts in terms of old ones. For example, Def.I.10 defines a right angle as one of two equal adjacent angles made when one straight line meets another. Other definitions look like they're substantial, but actually are not. For instance, Def.I.4 says a straight line "is a line which lies evenly with the points on itself." No where in the Elements is the defining phrase "which lies evenly with the points on itself" applicable. Thus, this definition indicates, at most, that some lines under discussion will be straight lines.

It has been suggested that the definitions were added to the Elements sometime after Euclid wrote them. Another possibility is that they are actually from a different work, perhaps older. In Def.I.22 special kinds of quadrilaterals are defined including square, oblong (a rectangle that are not squares), rhombus (equilateral but not a square), and rhomboid (parallelogram but not a rhombus). Except for squares, these other shapes are not mentioned in the Elements. Euclid does use parallelograms, but they're not defined in this definition. Also, the exclusive nature of some of these terms—the part that indicates not a square—is contrary to Euclid's practice of accepting squares and rectangles as kinds of parallelograms.

정의에 대하여

원론은 정의들로 시작한다. 점, 선, 면을 소개하는 정의(Def.I.1, Def.I.2, and Def.I.5)와 같은 것들은 논의해야 할 더 분명한 개념을 가리킨다.(유클리드가 말하는 선은 곡선을 포함하고 있다.) 다른 것들은 앞에 쓰인 개념으로 새로운 개념을 실제로 기술하는 본질적인 정의이다. 예를 들면 정의(Def.I.10)는 직각을 만나는 두 직선이 있을 때 이웃하는 두 각이 같은 것으로 정의하였다. 다른 것들은 본질적으로 보이지만 그렇지 않다. 예를 들면 정의(Def.I.4)는 직선을 점이 고르게 놓여 있는 것으로 말하지만 책 어디에도 점이 고르게 놓인 것을 적절하게 기술하여 직선을 정의할 문구가 없다. 그래서 이 정의는 기껏해야 검토하는 몇몇의 선이 직선이 됨을 가리킨다.
 
유클리드가 원론을 쓰고 난 다음에 덧붙여진 정의가 있다고 제안되었다. 더 오래된 다른 책으로부터 받아들여졌을 가능성이 있다. 정의(Def.I.22)는 정사각형, 직사각형, 마름모, 마름모가 아닌 평행사변형과 같은 특별한 사변형을 정의한다. 유클리드는 평행사변형(parallelogram)이란 용어를 사용하지만 이 정의에서 따로 정의하지 않았다. 또한 직사각형을 말하며 -정사각형이 아니라는- 배타적인 성질은 정사각형과 직사각형을 평행사변형으로 받아들이는 유클리드의 연구와 배치된다.(정사각형은 직사각형에 포함된다.)

About the Postulates

Following the list of definitions is a list of postulates. Each postulate is an axiom—which means a statement which is accepted without proof— specific to the subject matter, in this case, plane geometry. Most of them are constructions. For instance, Post.I.1 says a straight line can be drawn between two points, and Post.I.3 says a circle can be drawn given a specified point to be the center and another point to be on the circumference. The fourth postulate, Post.I.4, is not a constuction, but says that all right angles are equal.

공준에 대하여

정의 다음에 공준이 있다. 각각의 공준은 평면기하를 구성하는 공리(증명없이 참으로 받아들이는 명제)이다. 공준들은 모두 구조가 있다. 공준(Post.I.1)는 두 점 사이를 잇는 직선을 그릴 수 있다고 말한다. 공준(Post.I.3)는 주어진 한 점을 중심으로 하고 다른 점은 원주에 있는 원을 그릴 수 있음을 말한다. 네 번째 공준(Post.I.4)는 구조가 없고 모든 직각은 같다고 말한다.

About magnitudes and the Common Notions

The Common Notions are also axioms, but they refer to magnitudes of various kinds. The kind of magnitude that appears most frequently is that of straight line. Other important kinds are rectilinear angles and areas (plane figures). Later books include other kinds.

In proposition III.16 (but nowhere else) angles with curved sides are compared with rectilinear angles which shows that rectilinear angles are to be considered as a special kind of plane angle. That agrees with Euclid's definition of them in I.Def.9 and I.Def.8.

Also in Book III, parts of circumferences of circles, that is, arcs, appear as magnitudes. Only arcs of equal circles can be compared or added, so arcs of equal circles comprise a kind of magnitude, while arcs of unequal circles are magnitudes of different kinds. These kinds are all different from straight lines. Whereas areas of figures are comparable, different kinds of curves are not.

Book V includes the general theory of ratios. No particular kind of magnitude is specified in that book. It may come as a surprise that ratios do not themselves form a kind of magnitude since they can be compared, but they cannot be added. See the guide on Book V for more information.

Number theory is treated in Books VII through IX. It could be considered that numbers form a kind of magnitude as pointed out by Aristotle.

Beginning in Book XI, solids are considered, and they form the last kind of magnitude discussed in the Elements.

크기와 공통관념에 대하여

공통관념도 공준과 마찬가지로 공리지만 다양한 꼴로 크기를 말하고 있다. 가장 자주 나타나는 크기는 선분의 길이다. 다른 중요한 것은 직선각의 크기와 평면 도형의 넓이다. 뒤에 있는 책은 또 다른 크기를 포함하고 있다.  

명제(III.16)에는 곡면 사이의 각을 평면 사이의 직선각을 보이는 것처럼 직선각과 비굫고 있다. 이것은 정의 ( I.Def.9 and I.Def.8. )와 일치한다.

또한 3권에서 원주의 일부, 즉 호의 길이가 나온다. 반지름이 같은 원에 있는 호의 길이는 서로 비교하거나 더할 수 있으나 반지름이 다른 원에 있는 호는 그럴 수 없다. 호의 길이와 같은 크기는 직선의 길이와는 다르다. 도형의 넓이는 비교 가능하지만 곡선의 길이는 가능하지 않다.

5권은 비율의 일반 정리를 포함하고 있다. 지정된 특별한 크기는 없다. 비율은 서로 비교할 수 있지만 더 할 수는 없기에 스스로 크기의  한 종류가 되지 못하는 것은 놀라운 일이다.

정수론은 7권에서 9권까지 다루어진다. 아리스토텔레스가 강조한 크기의 한 종류에서 나오는 수를 고려하고 있다.

11권은 원론에서 다루는 마지막 크기인 입체의 부피를 다루는 걸로 시작한다. 

The propositions

Following the definitions, postulates, and common notions, there are 48 propositions. Each of these propositions includes a statement followed by a proof of the statement. Each statement of the proof is logically justified by a definition, postulate, common notion, or an earlier proposition that has already been proven. There are gaps in the logic of some of the proofs, and these are mentioned in the commenaries after the propositions. Also included in the proof is a diagram illustrating the proof.

Some of the propositions are constructions. A construction depends, ultimately, on the constructive postulates about drawing lines and circles. The first part of a proof for a constuctive proposition is how to perform the construction. The rest of the proof (usually the longer part), shows that the proposed construction actually satisfies the goal of the proposition. In the list of propositions in each book, the constructions are displayed in red.

Most of the propositions, however, are not constructions. Their statements say that under certain conditions, certain other conditions logically follow. For example, Prop.I.5 says that if a triangle has the property that two of its sides are equal, then it follows that the angles opposite these sides (called the "base angles") are also equal. Even the propositions that are not constructions may have constructions included in their proofs since auxillary lines or circles may be needed in the explanation. But the bulk of the proof is, as for the constructive propositions, a sequence of statements that are logically justified and which culminates in the statement of the proposition.

명제

정의, 공준, 공통관념에 이어 명제 48가지가 나온다. 이 명제들은 증명 과정을 포함하고 있다. 모든 증명 과정은 정의, 공준, 공통관념 그리고 앞에서 이미 증명된 명제에 의해 논리적으로 보여진다. 논리에 빈틈이 있는 어떤 증명은 뒤에 나오는 명제에서 주석을 달고 있다. 또한 증명을 보여주는 그림을 포함하고 있다.  

몇몇 명제는 작도이다. 작도는 궁극적으로 직선과 원을 작도하는 공준에 달려 있다. 작도하는 명제를 증명하는 첫 부분은 어떻게 작도 하는가를 나타낸다. 나머지 부분은 작도가 명제가 목표로 한 것을 제대로 만족하는 가를 확인하고 있다. 각 권에 있는 명제 목록에는 작도가 붉은 색으로 보여지고 있다.

명제 대부분은 작도가 아니다. 그들은 확실한 조건, 논리적으로 따르는 확실한 조건을 말한다. 예를 들면 명제(Prop.I.5)는 '이등변 삼각형은 밑각도 서로 같다.'이다. 작도하는 명제가 아니더라도 설명 속에 실제로는 직선과 원을 작도하는 것을 포함하고 있다. 대부분의 증명은 작도하는 명제로 주어진 명제가 주장하는 바가 참임을 보이는 과정에 결정적인 순간이 있다.

Logical structure of Book I

The various postulates and common notions are frequently used in Book I. Only two of the propositions rely solely on the postulates and axioms, namely, I.1 and I.4. The logical chains of propositions in Book I are longer than in the other books; there are long sequences of propositions each relying on the previous.

1권의 논리적 구조

1권에는 다양한 공준과 공통관념이 자주 사용된다. 딱 두 가지 명제만이 공준과 공리(I.1 and I.4)에 전적으로 의존한다. 1권에 있는 명제의 논리 사슬은 다른 권보다 훨씬 길다. 앞선 명제에 의존하는 긴 과정이 있다.

http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/index.html

 

Euclid's Elements, One Page. The original Greek text, Books 13

 

www.physics.ntua.gr

 

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  1. 익명 2014.07.18 15:51 고치기 댓글

    비밀댓글입니다

  2. 이정희 2015.03.22 21:22 고치기 댓글

    고맙습니다

  3. 익명 2016.02.20 23:38 고치기 댓글

    비밀댓글입니다

    • 수학이야기 2016.02.28 21:40 신고 고치기

      명제를 누르면 연결됩니다. 영어로 되어있는데 수학을 좀 안다면 번역이 많이 어렵지는 않을 듯....

  4. 김진형 2020.01.31 09:23 고치기 댓글

    좋은 자료 감사합니다.
    원론을 이렇게 유용하게 정리해놓은 경우는 처음입니다. 애써 만드셨을텐데 저는 아주 편하게 잘 활용하고 있네요.
    다시 한번 감사드립니다.

  5. 이근장 2021.02.16 01:52 고치기 댓글

    훌륭하십니다.
    유클리드원론에 대해 늘 궁금 했었는데...
    나이들어서 늦게라도 접할 수 있어서 너무나 감사합니다.

  6. 김대연 2021.08.12 11:17 고치기 댓글

    정삼각형의 작도 증명을 궁금하던 차에 이글을 보게됐습니다.
    완비성의 공리를 어떤 식으로 적용했는지 좀 더 알 수 있을까요??

    • 수학이야기 2021.08.13 13:12 신고 고치기

      실수(Real number)로 직선을 채우면 빈틈이 전혀 없게 된다는 것이 완비성(completeness of the real numbers)입니다.
      유리수로 이루어진 직선은 무리수인 틈이 있어서 두 직선이 교차한다고 무조건 만나는 점이 있다고 할 수 없지요.
      완비성은 대학에서 다루는 내용이라 설명하기 어렵습니다. 위키백과를 참고하세요.