유리수를 분류해 보자

먼저 유리수란 무엇인가 정리하자.

두 정수 $a,b\;\;(b\not=0)$에 대하여 $\displaystyle{\frac{a}{b}}$와 같은 꼴로 나타낼 수 있는 수를 '유리수'라고 한다.

간단하게 말하면 유리수는 분모와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 유리수를 분류하기 위해서는 분수를 소수로 고쳐야 한다. 중학교 2학년 수학 첫 번째 단원이 유리수와 소수인 까닭이다. 앞에서 분수와 소수의 역사를 간단하게 살펴보았다. 이제 분수를 소수로 고쳐보자. 방법은 간단하다. 직접 나누어 보면 된다.

$$\frac{1}{2}=0.5, \;\;\frac{2}{5}=0.4,\;\;\frac{3}{10}=0.3$$

위와 같이 소수점 아래에 있는 수가 유한개이면 유한소수로 분류한다. 

$$\frac{1}{3}=0.333\cdots$$

$$\frac{2}{11}=0.1818\cdots$$

$$\frac{2}{7}=0.285714285714\cdots$$

위와 같이 소수점 아래에 있는 수가 무한개이면 무한소수라고 하는 특히 같은 숫자 배열이 반복해서 나타나는 무한소수는 순환소수라고 한다. 되풀이되는 숫자를 순환마디라고 하고 순환마디의 양 끝에 있는 숫자 위에 점을 찍어서 간단하게 나타낸다.

$$0.7777\cdots=0.\dot{7}$$

소수를 분수로 고치기

모든 분수는 소수로 고칠 수 있다. 하지만 모든 소수를 분수로 고칠 수는 없다. 순환소수가 아닌 무한소수처럼 분수로 고칠 수 없는 수는 유리수가 아니다. 3학년에서 다루게 되는 무리수다. 소수를 분수로 고치려면 소수점 아래에 있는 부분을 정수로 만드는 방법을 생각하면 된다.

유한소수를 분수로 고치기

유한소수는 너무 간단하다.

$x=0.371$를 분수로 고쳐보자.

우변을 정수로 만들기 위해서 양변에 $10^3=1000$을 곱한다.

$$1000x=371$$

$$\therefore\;\;\frac{371}{1000}$$

순환소수를 분수로 고치기

순환소수는 순환마디에 따라 적당한 $10$의 거듭제곱을 곱해서 소수점 아래가 똑같은 순환소수를 만들어 빼는 방법으로 간단하게 분수로 바꿀 수 있다.

순환소수 $0.\dot{7}$을 분수로 고쳐보자.

$0.\dot{7}$를 $x$라고 하자.

$$x=0.7777\cdots$$

순환마디가 $7$이므로 양변에 10을 곱해서 빼면 소수점 아래 부분을 없애고 정수만 남길 수 있다.

\begin{align}10x=7.7777\cdots \tag{1}\\x=0.7777\cdots\tag{2}\end{align}

$(1)-(2)$하면

$$9x=7$$

$$\therefore\;\;x=\frac{7}{9}$$

순환소수 $0.\dot{2}\dot{3}$을 분수로 고쳐보자.

$0.\dot{2}\dot{3}$를 $x$라고 하자.

$$x=0.232323\cdots$$

순환마디가 $23$이므로 양변에 100을 곱해서 빼면 소수점 아래 부분을 없애고 정수만 남길 수 있다.

\begin{align}100x=23.232323\cdots \tag{1}\\x=0.232323\cdots\tag{2}\end{align}

$(1)-(2)$하면

$$99x=23$$

$$\therefore\;\;x=\frac{23}{99}$$

순환소수 $0.2\dot{4}\dot{5}$을 분수로 고쳐보자.

가장 번거로운 꼴이다.

$0.2\dot{4}\dot{5}$를 $x$라고 하자.

$$10x=2.454545\cdots$$

양변에 100을 곱해서 빼면 소수점 아래 부분을 없애고 정수만 남길 수 있다.

\begin{align}1000x=245.454545\cdots \tag{1}\\10x=2.454545\cdots\tag{2}\end{align}

$(1)-(2)$하면

$$990x=243$$

$$\therefore\;\;x=\frac{243}{990}=\frac{27}{110}$$

이와 같은 방법으로 모든 순환소수는 분수로 고칠 수 있으므로 순환소수는 유리수이다.

결론을 적어 보자.

유리수는 유한소수와 순환소수로 분류할 수 있다.

기약분수로 나타낸 유리수의 분모를 소인수 분해하였을 때, $2,\;5$로만 이루어져 있다면 유한소수이고 다른 소수가 있다면 순환소수이다.

오늘은 3월 14일 '파이 데이'다. 1학년에서 배운 원주율인 $\pi$는 순환소수가 아닌 무한소수이다. 원주율을 분수로 적을 수 있었다면 굳이 그리스 글자로 숫자를 나타내지 않았을 것이다.

$$\pi=3.14159265358979323846\cdots$$