유리수를 분류해 보자
수학이야기/중학수학2 2022. 3. 14. 19:37먼저 유리수란 무엇인가 정리하자.
두 정수 a,b(b≠0)에 대하여 ab와 같은 꼴로 나타낼 수 있는 수를 '유리수'라고 한다.
간단하게 말하면 유리수는 분모와 분자가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 유리수를 분류하기 위해서는 분수를 소수로 고쳐야 한다. 중학교 2학년 수학 첫 번째 단원이 유리수와 소수인 까닭이다. 앞에서 분수와 소수의 역사를 간단하게 살펴보았다. 이제 분수를 소수로 고쳐보자. 방법은 간단하다. 직접 나누어 보면 된다.
12=0.5,25=0.4,310=0.3
위와 같이 소수점 아래에 있는 수가 유한개이면 유한소수로 분류한다.
13=0.333⋯
211=0.1818⋯
27=0.285714285714⋯
위와 같이 소수점 아래에 있는 수가 무한개이면 무한소수라고 하는 특히 같은 숫자 배열이 반복해서 나타나는 무한소수는 순환소수라고 한다. 되풀이되는 숫자를 순환마디라고 하고 순환마디의 양 끝에 있는 숫자 위에 점을 찍어서 간단하게 나타낸다.
0.7777⋯=0.˙7
모든 분수는 소수로 고칠 수 있다. 하지만 모든 소수를 분수로 고칠 수는 없다. 순환소수가 아닌 무한소수처럼 분수로 고칠 수 없는 수는 유리수가 아니다. 3학년에서 다루게 되는 무리수다. 소수를 분수로 고치려면 소수점 아래에 있는 부분을 정수로 만드는 방법을 생각하면 된다.
유한소수는 너무 간단하다.
x=0.371를 분수로 고쳐보자.
우변을 정수로 만들기 위해서 양변에 103=1000을 곱한다.
1000x=371
∴3711000
순환소수는 순환마디에 따라 적당한 10의 거듭제곱을 곱해서 소수점 아래가 똑같은 순환소수를 만들어 빼는 방법으로 간단하게 분수로 바꿀 수 있다.
0.˙7를 x라고 하자.
x=0.7777⋯
순환마디가 7이므로 양변에 10을 곱해서 빼면 소수점 아래 부분을 없애고 정수만 남길 수 있다.
10x=7.7777⋯x=0.7777⋯
(1)−(2)하면
9x=7
∴x=79
0.˙2˙3를 x라고 하자.
x=0.232323⋯
순환마디가 23이므로 양변에 100을 곱해서 빼면 소수점 아래 부분을 없애고 정수만 남길 수 있다.
100x=23.232323⋯x=0.232323⋯
(1)−(2)하면
99x=23
∴x=2399
가장 번거로운 꼴이다.
0.2˙4˙5를 x라고 하자.
10x=2.454545⋯
양변에 100을 곱해서 빼면 소수점 아래 부분을 없애고 정수만 남길 수 있다.
1000x=245.454545⋯10x=2.454545⋯
(1)−(2)하면
990x=243
∴x=243990=27110
이와 같은 방법으로 모든 순환소수는 분수로 고칠 수 있으므로 순환소수는 유리수이다.
결론을 적어 보자.
유리수는 유한소수와 순환소수로 분류할 수 있다.
기약분수로 나타낸 유리수의 분모를 소인수 분해하였을 때, 2,5로만 이루어져 있다면 유한소수이고 다른 소수가 있다면 순환소수이다.
오늘은 3월 14일 '파이 데이'다. 1학년에서 배운 원주율인 π는 순환소수가 아닌 무한소수이다. 원주율을 분수로 적을 수 있었다면 굳이 그리스 글자로 숫자를 나타내지 않았을 것이다.
π=3.14159265358979323846⋯
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