수학은 덧셈에서 시작한다

초등학교에서 네 가지 셈을 배운다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이다. 기본 셈은 아는 이에겐 시시하지만 누구에게나 생각만큼 쉬운 일은 아니다. 아이가 수학을 잘했으면 하는 바람으로 아주 어린아이에게 무리하게 셈을 가르치기도 하는데 이것은 매우 어리석은 일이다. 기본 셈을 빠르고 정확하게 하는 일은 매우 중요하다. 하지만 개념도 없이 계산 연습만 하는 일은 수학 성적과는 아무런 관계없다. 우리나라에선 아이들이 덧셈을 깨치면 곧바로 구구단을 외우게 한다. 곱셈이 어떤 것인가 생각할 기회를 주지 않는다. 심지어 유치원에서도 구구단을 외운다.

덧셈에서 곱셈이 나왔다

$$2+2+2+2+2=10$$

대부분 2가 5개이므로 $2\times5=10$으로 계산한다. 하지만 차례로 더해 2, 4, 6, 8, 10으로 계산하는 사람도 있을 것이다. 자연수를 주로 쓰는 초등학교에선 둘의 차이가 크지 않다. 시간은 충분하고 계산은 간단하기 때문이다. 하지만 중학생이 되면 다르다. 같은 수를 계속 더하는 것이 결국 곱셈이 된다는 원리를 아는 것과 모르는 것은 하늘과 땅 차이다. 중학교에선 자연수에 정수와 유리수, 무리수까지 더해 실수로 수체계가 넓어지고 다항식처럼 문자를 써서 나타낸 식을 다루어야 하기 때문이다.

$$a+a+a=3a$$

$$a+a+a+a+a=5a$$

같은 문자를 더할 때 더한 횟수는 계수로 나타내는 원리만 이해한다면 일차식의 계산을 못할 까닭이 없다.

$$3a+5a=8a$$

하지만 생각보다 많은 학생들이 이런 간단한 원리조차 이해하려고 들지 않다 보니 결국 수포자가 되고 만다. 덧셈을 간단하게 나타낸 것이 곱셈임을 모르고 그저 곱셈은 구구셈을 외워서 답을 구하는 절차로만 생각하기에 그런 것이 아닐까 싶다. 따라서 어릴 때 구구셈을 가르치기보다는 다양한 도구로 덧셈을 훈련하여 스스로 구구셈을 깨칠 때까지 기다려 주는 것이 필요하다. 부모나 교사에게 조급함을 버리고 답답함을 참고 견디는 상당한 인내가 필요하다.

정수의 덧셈과 뺄셈 어떻게 가르칠까?

https://suhak.tistory.com/1314

위치를 나타내는 수

음의 정수도 가르치기 쉽지 않다. 수학교사로서는 고등학교에서 배우는 벡터까지 염두에 두고 방향으로 이해하도록 가르치고 싶지만 제대로 이해하지 못하는 아이들이 많다. $+$와 $-$를 표기하고 개수를 비교하여 지워나가고 남는 것을 정수로 표현하도록 하는 것을 쉽게 여기는 아이들이 있다. 예를 들면 바둑돌로 흑 돌은 $+$, 백 돌은 $-$로 생각해서 같은 개수를 치우고 남은 것을 세는 것은 대부분 아이들이 쉽게 이해한다. 다만 이해를 시켰다고 하더라도 기계적으로 답을 구할 때까지 스스로 연습하지 않으면 허사가 된다.

부호가 같을 때는 아주 쉽다.

$$(+5)+(+7)=+12$$$$ (-2)+(-7)=-9$$

부호가 다를 때는 조금 쉽다.

$$(+9)+(-5)=+4$$$$(-9)+(+4)=-5$$

덧셈까지는 그래도 낫다. 뺄셈은 부호를 바꾸어 더하는 것으로 생각하자.

$$(-9)-(+5)=(-9)+(-5)=-14$$$$(-5)-(-9)=(-5)+(+9)=+4$$

위와 같이 부호를 모두 쓰면 대부분 잘 이해하다가 부호를 생략한 표현이 나오면 구별하지 못하는 학생이 많다. 한두 시간은 부호를 달아 쓰지만 곧바로 $+$ 기호를 생략한 표현이 나온다. 

$$-9-5=-14$$$$-5-(-9)=-5+9=4$$$$ 9-4=5$$$$3-8=-5$$

$-9-5=(-9)+(-5)$임을 이해하는 일이 매우 중요하다. 수학은 덧셈에서 시작한다는 사실을 다시 확인할 수 있다. 여기까지 잘 이해한다면 중학교에서 수학을 포기하는 일은 절대로 없을 것이다.