뺄셈은 잊어도 된다!

많은 학생이 수학을 포기하는 때는 언제일까? 초등학교에서 분수를 배울 때와 중학교 1학년에서 음수를 배울 때가 아닐까 싶다. 중학교에서 수학을 가르칠 때 수학을 포기한 학생은 대부분 분수 계산과 음수 계산이 매우 서툴다. 아예 개념이 없는 학생도 아주 많다. 자연수는 대체로 쉽게 개념을 잡지만 분수와 음수는 쉽게 개념을 잡지 못한다.

분수는 따로 언급하기로 하고 여기선 음수만 언급하기로 하자. 수학 교사로서 음수를 도입하는 가장 마음에 드는 개념은 위치를 나타내는 수이다.

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위치를 나타내는 수

하지만 모든 학생에게 음수는 위치를 나타내는 수라는 설명이 쉬운 것은 아니라고 여겨진다. 위키백과를 참고하여 음수를 정리해 두려고 한다.

수학에서 음수는 반대편을 나타낸다. 실수 체계에서 음수는 0보다 작은 수이다. 종종 손실이나 결핍의 정도를 나타낸다. 부채는 음의 자산으로 생각할 수 있다. 전자와 전하와 같은 양이 두 가지 반대되는 감각 가운데 하나를 가질 수 있다면, 그 감각을 임의로 양과 음으로써 구분할 수 있다. 섭씨나 화씨에서 0보다 낮은 온도를 나타낼 때 음수를 사용한다.

역사

동양에선 음수를 일찍부터 사용했다. 한나라(202 BC – AD 220) 때 수학책인 '구장산술'에서 빚을 나타내는 수로 쓰고 있다. 3세기 경 중국 수학자 리우후이(Liu Hui)는 음수의 덧셈과 뺄셈을 다루는 책을 썼다. 7세기 경 인도 수학자 브라마굽타가 음수를 다루는 방법을 기술하였다. 이슬람 수학자들은 음수를 곱하는 방법을 발전시켜 계수가 음수인 문제를 해결하는 데 사용하였다.

반면 서양에서 상당기간 음수를 받아들이지 않았다. 그리스 수학자 디오판투스와 음수인 해를 '거짓'으로 여겼고 음의 해가 필요한 방정식은 터무니없는 것으로 묘사했다. 라이프니츠는 음수가 유효하지 않다고 주장했지만 여전히 계산에 사용했다.

음수를 도입하는 몇 가지 방법이 있다.

수직선

실수는 아래와 같이 수직선에 나타낸다. 오른쪽으로 갈수록 숫자가 커지고 왼쪽으로 갈수록 숫자가 작아진다. 따라서 가운데에 0이 표시되고 오른쪽에 양수, 왼쪽에 음수가 표시된다. 0은 양수도 음수도 아니다. 0을 넣기 위해 음이 아닌 수(nonnegative)와 같이 표현한다.

부호가 있는 수

음수의 맥락에서 0보다 큰 수를 더하기 기호 $+$를 사용하여 $+3$처럼 쓰기도 한다.

뺄셈의 결과

$0-3=-3$이나 $5-8=-3$과 같이 뺄셈을 한 결과를 나타내기 위한 수이다.

세 번째 뺄셈의 결과로 소개하는 것은 별로 좋아 보이지 않는다. 오히려 뺄셈을 음수를 더하는 것으로 해석하는 것이 좋다고 생각한다.

$$5-8=5+(-8)=-3$$

아래와 같이 덧셈으로 바꿔서 생각하면 더 쉽게 이해할 수 있다. 

$$-5-3=-5+(-3)=-8$$

이제 뺄셈은 잊고 덧셈만 생각하자.

곱셈공식

음수의 곱셈은 어떻게 이해하면 좋을까? 

$$3\times (-2) =(-2)+(-2)+(-2)=-6$$

덧셈에 대한 역원

가장 수학적인 이해는 기호 $-$를 부정하는 기호로 여기는 것이다. 요즘은 중학교에서 역원을 따로 가르치지 않는다. 처음 만나는 이에겐 상당히 어렵겠지만 기호 $-$를 덧셈에 대한 역원을 나타내는 기호로 생각하자.

더한 값이 0이 되는 두 수를 서로 덧셈에 대한 역원이라고 하자.

$$(-6)+6=6+(-6)=0$$

따라서 $6$의 덧셈에 대한 역원은 $-6$이고 $-6$의 덧셈에 대한 역원은 $6$이다. 

$$-(-6)=6$$

이제 음수와 음수의 곱은 양수임을 보이자.

$$(-2)\times (-3)+2\times (-3)=(-2+2)\times (-3)=0\times (-3)=0$$

따라서 $(-2)\times (-3)$과 $2\times (-3)$은 서로 덧셈에 대한 역원이다.

$$(-2)\times (-3)=-2\times(-3)=-(-6)=6$$

곱셈공식

중학교 3학년에서 아래와 같은 곱셈공식을 배운다.

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

위에 있는 공식 하나로 모든 곱셈공식을 만들 수 있다. 그런데 가끔 위에 있는 공식을 잘 외우고 있으면서도 아래와 같은 전개를 하지 못하는 아이들이 보인다.

$$(a+3b)(2c-d)$$

그런 아이들은 모두 가운데 있는 $-$를 제대로 다루지 못한다. 이럴 때는 아래와 같이 $-$를 뺄셈이 아닌 부호로 생각하는 것이 도움이 될 것이다. 우리는 대부분 '마이너스'로 읽지만 영어로는 'minus'와 'negative' 두 가지로 읽는다.  

$$\begin{split}(a+3b)(2c-d)&=(a+3b)(2c+(-d))\\&=2ac+(-ad)+6bc+(-3bd)\\&=2ac-ad+6bc-3bd\end{split}$$

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_number

Negative number - Wikipedia