피타고라스 정리와 도형

모든 직각삼각형은 세 변의 길이가 피타고라스 정리를 만족한다. 또한 세 변의 길이가 피타고라스 정리를 만족하면 직각삼각형이다. 직각이 있는 곳에는 언제나 피타고라스 정리가 숨어 있다.

1. $\square ABCD$의 두 대각선이 서로 수직으로 만나면

$$\overline{AB}^2 + \overline{CD}^2 =\overline{BC}^2 +\overline{AD}^2 \tag{1}$$

증명은 아주 간단하다. 잘 이해했다면 공식으로 꼭 외울 필요는 없다.

$$\begin{align}\overline{AB}^2+\overline{CD}^2=\overline{OB}^2+\overline{OA}^2+\overline{OC}^2+\overline{OD}^2\\=\overline{OB}^2+\overline{OC}^2+\overline{OA}^2+\overline{OD}^2\\=\overline{BC}^2+\overline{AD}^2\end {align}$$

2. $\square ABCD$는 직사각형이고 점 $P$가 내부에 있다면

$$\overline{AP}^2 +\overline{CP}^2 =\overline{BP}^2 +\overline{DP}^2 \tag{2}$$

(1)과 마찬가지로 아래와 같이 점 $P$에서 각 변에 수선의 발을 내려서 쉽게 보일 수 있다.

아래와 같은 문제를 만나면 당황하지 말고 보조선을 긋고 피타고라스 정리로 딱 해결해 보자.

이전 글도 참고하면 좋다.

https://suhak.tistory.com/1423

피타고라스 정리는 어디에 쓸까?