피타고라스 정리는 어디에 쓸까?

학력이 중학교 2학년 이상이라면 누구나 한 번쯤은 '피타고라스(Pythagoras)'란 이름을 들어 보았다. 수학을 싫어하는 사람도 분명 뭔가 중요한 사람임을 알 것이다. 피타고라스는 워낙 많은 분야에 업적을 남겼지만 직접 그의 이름이 붙어 있는 '피타고라스 정리'때문에 모든 사람이 아는 수학자가 된 것이다.

$$a^2+b^2 =c^2\tag{1}$$

피타고라스 정리를 증명하는 글은 따로 적었으니 이글에선 피타고라스 정리를 어디에 어떻게 쓸까를 고민해 보기로 하자. 아주 먼 옛날 사람도 (3,4,5)가 직각삼각형을 만드는 세 변의 길이임을 알고 있었다. 피타고라스 정리를 만족하는 세 자연수를 '피타고라스의 수'라고 한다. 증명을 해 보았다면 아래 그림과 같음을 확인했을 것이다.

$$\square BHIC=\square BJKG=4^2$$

$$\square CDEA=\square AFKJ=3^2$$

$$\square AFGB=\square BJKG+ \square AFKJ$$

$$\overline{AB}^2=4^2+3^2 =25=5^2$$

중학교 2학년 수준에선 세 변의 길이가 자연수처럼 특별한 수일 때만 구할 수 있다. 아무튼 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알면 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 피타고라스 정리에서 중학교 3학년에서 배우는 무리수가 발견된다. 피타고라스 정리는 유리수와 무리수를 합쳐서 실수 체계를 완비해 나갈 때 중요한 역할을 한다.

위 그림에서 $\triangle ABC$의 넓이를 구할 수 있으므로 선분 $CJ$의 길이를 구할 수 있다.

$$\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{BC}=\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{CJ}$$

$$\overline{CJ}=\frac{12}{5}$$

당연히 나머지 선분 $\overline{AJ},\;\;\overline{BJ}$의 길이도 쉽게 구할 수 있다. 직각삼각형은 피타고라스 정리가 있기에 쉽게 알아낼 수 있는 정보가 매우 많다.

 

$$\overline{CJ}=\frac{ab}{c}\tag{2}$$

$$\overline{AJ}=\frac{b^2}{c}$$

$$\overline{BJ}=\frac{a^2}{c}$$

$$\overline{CJ}^2=\frac{a^2b^2}{c^2}=\frac{b^2}{c}\times \frac{a^2}{c} =\overline{AJ}\times\overline{BJ}\tag{3}$$

이런 걸 굳이 공식으로 따로 기억할 필요는 없다. 피타고라스 정리는 넓이와 연관 지어 생각하면 활용하는 방법을 생각하기 쉬울 때가 많다. 당연히 넓이와 관련된 문제가 많다.

피타고라스 정리를 활용하여 넓이가 각각 25, 16인 정사각형을 이용하여 넓이가 41인 정사각형을 만들 수 있다.

넓이가 41인 정사각형은 한 변의 길이가 얼마인가? 6보다는 크고 7보다는 작을 것이다. 6.4보다는 크고 6.5보다는 작을 것이다.

$$x^2 =41$$

이 방정식을 풀기 위해 우리는 새로운 수를 만들어야 한다. 중학교 3학년에서 배우는 무리수가 바로 그것이다. 무리수까지 배우고 나면 피타고라스 정리를 활용할 수 있는 범위가 아주 넓어진다. 덩달아 아주 어려운 문제도 많이 만나게 된다.

중학교 2학년 학생이라면 일단은 위에 있는 그림처럼 피타고라스 정리를 활용하는 연습을 충분히 해야 한다. 아래 모눈종이에 넓이가 50인 정사각형을 그려보자. 정답은 맨 아래.

문제 1 아래 그림과 같이  직각삼각형 $ABC$에서 세 변을 지름으로 하는 반원을 그렸다. $\overline{AB}=10$, $\overline{AC}=8$, $\overline{BC}=6$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.

 

문제 2 정사각형 $ABCD$는 한 변의 길이가 2이다. 그림과 같이 두 점 $A$와 $D$를 중심으로 반지름이 $2$인 원을 그렸다. 두 원호와 변 $BC$에 동시에 접하는 원의 반지름을 구하여라.

 

 

(3)은 다시 해석해 보자.

$\overline{AJ}\times\overline{BJ}$은 두 선분 $\overline{AJ}$와 $\overline{BJ}$를 가로와 세로로 가지는 직사각형의 넓이로 볼 수 있다. 또한 $\overline{CJ}^2$는 한 변이 $\overline{CJ}$인 정사각형의 넓이로 생각할 수 있다. 이것으로 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있음을 알 수 있다. 

중학교 2학년 수준으로는 아직 무리수를 모르기 때문에 피타고라스 정리를 제대로 활용하기 어렵다. 피타고라스 정리는 근호 $\sqrt{}$를 배우는 중학교 3학년부터 본격적으로 활용하기 시작하고 고등학교 교육과정에서도 끊임없이 활용한다.

참고: 아래와 같이 넓이가 $ab$인 정사각형을 작도할 수 있다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 3학년 때 배우는 근호를 써서 $\sqrt{ab}$로 나타낼 수 있다. 이와 같이 $c^2 =ab$일 때 $c$를 $a$와 $b$의 기하평균이라고 한다. 

https://suhak.tistory.com/202

여러 가지 평균의 작도

정답. 넓이가 50인 정사각형 만들기.