존 월리스 무한곱으로 원주율을 나타내다

작도가 원과 직선에서 출발하므로 기하는 원에서 시작한다고 말할 수 있다. 이런저런 이야기를 정리하다 보니 또다시 돌고 돌아 원주율이다. 조만간 원주율과 관련된 여러 이야기를 하나로 모아 정리하려고 자료를 찾고 있다. 수학 교사로 지낸 세월이 길어서 이제 어지간한 이야긴 다 아는 줄 알았는데 아니었다. 존 윌리스와 원주율 이야기를 먼저 정리해 둔다. 위키백과에서 수식은 옮겨 왔다.

존 월리스는 원주율을 아래와 같이 무한곱으로 나타낸 수학자이다. 도대체 이런 걸 어떻게 찾았는지 궁금하다. 그래서 내가 알 수 있는 방법을 따라 해 보기로 했다. 

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}}$$ 

귀납적으로 증명하려고 한다.

먼저, 정적분 $\displaystyle{\int_0^\pi \sin^n x\,dx}$을 $n$이 짝수와 홀수일 때를 각각 정리하자. 

$$I(n) = \int_0^\pi \sin^n x\,dx.\tag{1}$$

부분적분을 쓰기 위해 아래와 같이 정하자.

$$\begin{align} u &= \sin^{n-1}x \\ \Rightarrow du &= (n-1) \sin^{n-2}x \cos x\,dx \\ dv &= \sin x\,dx \\ \Rightarrow v &= -\cos x \end{align}$$

$$\begin{align} \Rightarrow I(n) &= \int_0^\pi \sin^n x\,dx \\[6pt] {} &= -\sin^{n-1}x\cos x \Biggl|_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x)(n-1) \sin^{n-2}x \cos x\,dx \\[6pt] {} &= 0 + (n-1) \int_0^\pi \cos^2x \sin^{n-2}x\,dx, \qquad n > 1 \\[6pt] {} &= (n - 1) \int_0^\pi (1-\sin^2 x) \sin^{n-2}x\,dx \\[6pt] {} &= (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n-2}x\,dx - (n - 1) \int_0^\pi \sin^{n}x\,dx \\[6pt] {} &= (n - 1) I(n-2)-(n-1) I(n) \\[6pt] {} &= \frac{n-1}{n} I(n-2) \\[6pt] \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)} &= \frac{n-1}{n} \\[6pt] \end{align}$$

편하게 쓰기 위해 변수를 바꿔서 두 가지 점화식을 얻는다. 

$$I(2n) = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2)\tag{2}$$

$$I(2n+1) = \frac{2n}{2n+1}I(2n-1)\tag{3}$$

나중에 쓰기 위해 $I(0)$와 $I(1)$의 값을 구하자.

$$\begin{align} I(0) &= \int_0^\pi dx = x\Biggl|_0^\pi = \pi \\[6pt] I(1) &= \int_0^\pi \sin x\,dx \\&= -\cos x \Biggl|_0^\pi = (-\cos \pi)-(-\cos 0) = -(-1)-(-1) = 2 \\[6pt] \end{align}$$

짝수일 때를 점화식 (1)을 써서 $I(2n)$을 $I(0)$가 나올 때까지 차수를 줄여 보자.

$$I(2n)=\int_0^\pi \sin^{2n}x\,dx = \frac{2n-1}{2n}I(2n-2) = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)$$

$$=\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdot \cdots \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I(0)=\pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}$$

마찬가지로 홀수일 때  $I(2n+1)$를 계산할 수 있다.

$$I(2n+1)=\int_0^\pi \sin^{2n+1}x\,dx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)$$

$$=\frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \cdots \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} I(1)=2 \prod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}$$

$\sin{x} \leq 1$이므로

$$\sin^{2n+1}x \le \sin^{2n}x \le \sin^{2n-1}x,\;\; 0 \le x \le \pi$$

$$\Rightarrow I(2n+1) \le I(2n) \le I(2n-1)$$

$I(2n+1)$으로 나누면 아래와 같은 부등식을 얻는다.

$$\Rightarrow 1 \le \frac{I(2n)}{I(2n+1)} \le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}$$

스퀴즈 정리를 쓰자.

$$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi}{2} \lim_{n\rightarrow\infty} \prod_{k=1}^n \left(\frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k}\right)=1$$

$$\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{2k}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+1}\right)=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \cdots$$

위에 보이는 숫자로만 계산해 보니 원주율은 약 2.92571428571이다. 원주율에 그렇게 빠르게 접근하지는 않는다.