브라마굽타(Brahmagupta)

브라마굽타(Brahmagupta : c. 598 – c. 668 CE) 인도 수학자이며 천문학자이다. 그가 628년 쓴 저서 브라마스푸타싯단타 (바르게 세운 브라마 교리: 이하 [브라마스])는 수학과 천문학에 관한 여러 가지 지식이 실려 있다. 그 가운데 위키백과를 참고하여 수학에 남긴 업적을 정리해 본다.

브라마굽타는 방정식에서 처음으로 $0$을 쓰기 시작하였다. 다른 인도 수학자처럼 산스크리트로 쓴 시로 쓰였고 증명이 없어서 어떻게 이끌어 냈는지는 알 수 없다.

[브라마스] 18장에서 방정식을 다루고 있다. 오늘날 표현으로 정리하면 아래와 같다.

대수(Algebra)

1차방정식 $bx+c=dx+e$의 해는 $$x=\frac{e-c}{b-d}$$

2차방정정식 $ax^2 +bx=c$의 해는 $$x=\frac{\pm \sqrt{4ac+b^2}-b}{2a},\quad x=\frac{\pm\sqrt{ac+\frac{b^2}{4}}-\frac{b}{2}}{a}\tag{1}$$

디오판토스처럼 방정식을 서로 더하고 빼고 곱하고 나누어서 푸는 방법을 선보이고 있다. 아마도 그리스 수학과 마찬가지로 바빌로니아 수학이 기원으로 보인다.

산술(Arithmetic)

분수를 계산하는 다섯 가지 조합을 다루고 있다.

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}; \frac{a}{c}\times \frac{b}{d};\frac{a}{1}+\frac{b}{d};\frac{a}{c}+\frac{b}{d}\times \frac{a}{c}=\frac{a(d+b)}{cd};\frac{a}{c}-\frac{b}{d}\times \frac{a}{c}=\frac{a(d-b)}{cd}$$

급수(Series)

자연수 제곱의 합과 세제곱의 합을 구하는 공식을 설명하고 있다.

$$\sum_{k=1}^{n}k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sum_{k=1}^{n}k^3 =\bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^2$$

디오판토스 해석(Diophantine analysis)

피타고라스 수(Pythagorean triplets)

$\displaystyle{d=\frac{mx}{x+2}}$로 놓으면 높이가 $m$인 산 꼭대기에서 $d$만큼 도약한 다음 수평으로 거리 $mx$만큼 떨어진 도시까지 직선으로 가는 거리는 밑변의 길이가 $a=mx$, 높이는 $b=m+d$인 직각삼각형의 빗변의 길이인 $c=m(1+x)-d$이다.

이것은 피타고라스 정리를 만족하는 세 수 $a,b,c$를 찾는 좋은 도구가 된다. $m,\;x$가 유리수이면 $a,\;b,\;c,\;d$도 유리수이다. 따라서  $a,\;b,\;c$의 분모의 최소공배수를 구해서 곱하면 피타고라스의 세 수를 얻을 수 있다.

펠 방정식(pell's equation)

펠 방정식으로 부르는 2차인 디오판토스 방정식을 유클리드 호제법으로 해를 구했다. 유클리드 호제법은 그에게 작은 수로 조각낸다는 뜻인 '분쇄기'로 알려졌다. $$Nx^2+1=y^2$$

$$\displaystyle{ (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}$$

예전 글에서 펠 방정식을 아래와 같은 꼴로 썼다. 위에 있는 것과 차이는 없다. $N=1$이면 쌍곡선의 방정식이다.

$$x^2-Ny^2=1$$

브라마굽타는 아래와 같은 방법으로 알려진 두 개의 해 $(x_1,y_1),\;\;(x_2,y_2)$로 다른 해를 찾았다.

${x_1}^2 -N{y_1}^2 =1,\;\;{x_2}^2 -N{y_2}^2 =1$라고 하면

$$\begin{split}(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) &= (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 \\&= (x_1x_2 - Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 - x_2y_1)^2\\&=1\end{split}$$이므로 $(x_1x_2 + Ny_1y_2,x_1y_2 + x_2y_1)$와 $(x_1x_2 - Ny_1y_2,x_1y_2 - x_2y_1)$도 해가 된다.

방정식 $x^2 -2y^2 =1$의 해인 $(3,2)$로 새로운 해 $(3\cdot 3+2\cdot 2\cdot 2, \;\;3\cdot 2+3\cdot 2)=(17,\;12)$을 얻을 수 있다. 얻어낸 두 해로 같은 계산을 되풀이하여 $(99,70)$을 얻을 수 있다. 되풀이하면 무한히 많은 해를 얻을 수 있다. 한편 방정식을 정리하면

$$N=\frac{x^2 -1}{y^2}=\bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2 -\frac{1}{y^2}$$

이다. $y\rightarrow \infty$라고 하면 $\displaystyle{\frac{x}{y} \rightarrow \sqrt{N}}$이다.(쌍곡선의 점근선 기울기를 생각하면 된다.) 그러므로 펠 방정식의 정수해를 구함으로써 제곱근의 근삿값을 구할 수 있다.

기하(Geometry)

브라마굽타의 공식(Brahmagupta's formula)

아래와 같이 원에 내접하는 사각형의 네 변의 길이는 각각 $p,q,r,s$이고 $\displaystyle{t=\frac{p+q+r+s}{2}}$일 때, 넓이는

$$\sqrt{(t-p)(t-q)(t-r)(t-s)}$$이고 근삿값은 $$\frac{p+r}{2}\cdot \frac{q+s}{2}$$이다.

 

삼각형(Triangles)

삼각형의 밑변을 높이로 나눈 두 선분의 길이를 구하는 정리를 찾았다.

두 선분의 길이는

$$\frac{1}{2}\bigg(b\pm \frac{c^2 -a^2}{b}\bigg)$$

이다. 나아가 세 변의 길이와 넓이가 모두 유리수인 삼각형의 변의 길이를 구했다.

$u,v,w$는 유리수일 때, 세 변 $a,b,c$는 아래와 같이 정해진다.

$$a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)$$

브라마굽타의 정리(Brahmagupta's theorem)

원에 내접하고 대각선이 직교하는 등변사다리꼴의 대각선의 길이는 대변의 길이를 곱하고 더한 값의 제곱근이다.

$$\sqrt{pr+qs}$$

 

원에 내접하고 대각선이 직교하는 사각형에서 대각선의 교점에 한 변에 수직인 직선은 다른 변을 이등분한다.

$$\overline {BM}\perp \overline {AC},\overline {EF}\perp \overline {BC}\Rightarrow |\overline {AF}|=|\overline {FD}|$$

증명

원주율($\pi$)

브라마굽타는 원주율로 3을  썼고 정확하게는 $\sqrt{10}\approx 3.1622\cdots$을 사용했다. 

삼각함수(Trigonometry)

사인함수표(sine table)

<행성의 실제 경도>로 제목이 붙은 2장에서 사인 함수값을 제시하였다. 반지름이 3270인 원에서 사인 함수의 값으로 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, 3270을 제시하였다. 이것은 $n=1,2,3,\cdots ,24$일 때 $3270\displaystyle{\sin \frac{\pi n}{48}}$의 값을 적은 것이다.

보간공식(Interpolation formula)

665년에 브라마굽타는 이미 만들어진 삼각함수표에서 새로운 사인 함숫값을 구하려고 2차 뉴턴-스털링 보간공식의 특별한 경우를 고안하고 사용했다.

공식은 함수 $f$의 값이 이미 $a − h$, $a$ 및 $a + h$에서 알려진 경우 인수의 값 $a + xh$($h > 0$ 및 $−1 ≤ x ≤ 1$)에서 함수 $f$의 값에 대한 추정치를 제공한다.

$$f(a+xh)\approx f(a)+x \frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}+x^{2}\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2}$$

$\Delta$는 1차 미분연산자 즉 $\Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a)$