구수략에 나오는 마방진
수학이야기 2023. 1. 21. 22:33최석정 선생이 쓴 <구수략>에 나오는 마방진이다.
한자를 아라비아 숫자로 바꾸면 아래와 같다.
이것을 앞에 있는 숫자와 뒤에 있는 숫자를 따로 만들면 아래와 같다.
$i$행, $j$열에 있는 수를 각각 $s_{ij}$, $t_{ij}$라고 하자. 아래는 $9\times(s_{ij}-1)+t_{ij}$로 계산한 것이다. 열과 행을 더한 값이 모두 369인 마방진이 만들어진다.
라틴방진(latin square)
라틴방진은 행, 열 각각에 $1$부터 $n$까지의 숫자가 겹치지 않게 배열되어 있는 것, 즉 순열(permutation)로 이루어진 것이다. 스도쿠 게임을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.
직교라틴방진(orthogonal latin square)
라틴방진 중에서 이러한 배열 두 쌍을 결합시켰을 때에도 겹치는 숫자쌍이 없는 두 쌍의 라틴방진을 직교라틴방진이라 한다.
다음의 첫 두 방진은 3차 라틴방진이고, 두 라틴방진은 직교라틴방진이 되며 이것을 한 개의 방진에 나타내면 세 번째의 방진이 된다.
세 번째의 방진의 각 성분을 보면 첫 번째 수는 왼쪽의 라틴 방진을 두 번째 수는 오른쪽의 라틴 방진을 나타낸다. $9$개의 순서쌍은 숫자 $1, 2, 3$을 써서 만들 수 있는 가능한 모든 순서쌍의 집합 $\{(1, 1),(1, 2), · · · ,(3, 3)\}$이 된다. 두 개의 n차 라틴방진이 직교한다는 것은 $n^2$개의 가능한 모든 순서쌍이 만들어진다는 뜻이다. 위의 직교라틴방진의 순서쌍 $(i, j)$에 $3(i − 1) + j$의 값을 대입하면 옆의 마방진이 나온다. 즉, $n$차 직교라틴방진이 있으면 $n$차 마방진이 얻어진다.
위에 있는 두 방진은 라틴방진이고 서로 직교하는 직교라틴방진이다. 오일러는 그리스 문자와 로마 문자를 써서 나타냈기 때문에 '그레코-라틴 방진'으로 부르기도 한다. 최석정 선생이 구수략에 펴낸 때는 오일러보다 훨씬 앞 선다고 하니 자랑스럽다.
https://www.youtube.com/watch?v=3jDvIIbICio
참고
https://web.archive.org/web/20190728164542/http://coding.yonsei.ac.kr/pdf/KSHSBA_2010_v23n3_21.pdf
https://koreascience.kr/article/JAKO200601436737452.pdf
https://puzzlemuseum.tistory.com/428
마방진 뒷 이야기 16: 직교 라틴 방진 (Orthogonal Latin Square)
상당히 어렵게 느껴지는 용어이지요? 퍼즐러 갱이 생각해도 너무 수학적이고 현학적인 표현 같습니다. 덜컥 겁부터 나는 것이 사실입니다. 그러나 라틴 방진과 최석정의 9차 마방진을 정리하면
puzzlemuseum.tistory.com
https://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square
Latin square - Wikipedia
From Wikipedia, the free encyclopedia Square array with symbols that each occur once per row and column In combinatorics and in experimental design, a Latin square is an n × n array filled with n different symbols, each occurring exactly once in each
en.wikipedia.org
마방진(Magic Square)
마방진이란 정사각형 모양(`n \times n`)으로 배열된 `1,2,3, \cdots, n^2 `이 가로와 세로 대각선의 `n`개의 수의 합이 같아지는 배열을 말한다. 이 `n` 개수의 합은 $$M_2 (n)= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^2} k = \frac{1}
suhak.tistory.com
