유리수는 완비(complete)가 아니다

해석학 책에 있는 일부를 옮겨 놓는다.

정의

유리수 집합에서 반직선(ray)은 다음과 같은 성질을 만족하는 유리수 $\mathbb{Q}$의 부분집합 $U \subset \mathbb{Q}$이다.

(a) $x\in U$이고 $y>x$이면 $y\in U$이다.

(b) $U$는 첫째 원소가 존재하지 않는다.

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$U$의 원소가 아닌 모든 유리수의 집합을 $U^{\prime}=\mathbb{Q}-U$라고 하면 두 가지 경우가 있다.

1. $U^{\prime}$가 가장 큰 원소 $x_0$를 가진다.

2. $U^{\prime}$가 가장 큰 원소를 가지지 않는다.

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만약 $U^{\prime}$가 가장 큰 원소 $r_0$를 가진다면 

$$U=\{x\in \mathbb{Q}| x>r_0\}$$ 이다.

$r$이 유리수라면 $\{x\in \mathbb{Q}| x>r\}$와 같은 꼴인 집합은 1번 꼴인 반직선임은 쉽게 보일 수 있다. 1번 꼴인 반직선을 유리수 반직선으로 부른다.

어떤 체 $F$의 모든 반직선이 1번 꼴이라면 $F$는 완비(complete)라고 부른다.

정리 유리수 $\mathbb{Q}$는 완비가 아니다.

증명 $V=\{x\in\mathbb{Q}|x>0, \;\;x^2>2\}$라고 하자.

• 먼저 $V$가 반직선임을 보이자.

$1$이 아닌 모든 자연수는 $V$의 원소이므로 $\varnothing \not= V\subset\mathbb{Q}$.

$x\in V$이고 $y>x$라고 하자.

$y>0$이므로 $y^2>xy>x^2>2$이다. 따라서 $y\in V$.   $\cdots\cdots$  (a)

이제 $x_0$가 $V$의 첫째 원소라고 하면 $x_0>0$이고 ${x_0}^2>0$이다.

따라서 아래와 같은 성질을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다.

$$n>\frac{2x_0}{{x_0}^2-2},\;\;\frac{1}{n}<\frac{{x_0}^2-2}{2x_0}\tag{2}$$

그러면

$${x_0}^2 -2>\frac{2x_0}{n}$$

정리하면

$${x_0}^2 -\frac{2x_0}{n}>2$$

이다. 

$${x_0}^2 -\frac{2x_0}{n}+\frac{1}{n^2}>2$$

이므로 

$$\left({x_0}^2-\frac{1}{n}\right)^2>2$$

이다. (2)에 따라서

$$x_0-\frac{1}{n}>x_0-\frac{{x_0}^2-2}{2x_0}=\frac{{x_0}^2+2}{2x_0}>0$$

이다. 따라서 $x_0 -1/n\in V$인데 $x_0-1/n<x_0$이므로 모순이다.

$V$는 첫째 원소가 존재하지 않는다.  $\cdots\cdots$  (b)

그러므로 $V$는 반직선이다.

• 이제 $V^{\prime}$이 최대 원소를 가지지 않음을 보이자.

$r_0$가 $V^{\prime}$의 최대 원소라고 하자.

$1\in V^{\prime}$이므로 $r_0>1$이다. $r_0>0$이고 ${r_0}^2 \leq 2$이다. $r_0 \not=2$이므로 ${r_0}^2<2$이다.

위에서와 마찬가지로 다음을 만족하는 자연수 $m$이 존재한다.

$$m>\frac{2r_0 +1}{2-{r_0}^2},\;\; \frac{1}{m}<\frac{2-{r_0}^2}{2r_0 +1}$$

이제

$$\frac{2r_0 +1}{m}<2-{r_0}^2$$

모든 자연수 $k$에 대하여 $1/k^2 \leq 1/k$이므로

$$\frac{2r_0}{m} +\frac{1}{m^2}<\frac{2r_0}{m} +\frac{1}{m}<2-{r_0}^2$$

$${r_0}^2+\frac{2r_0}{m} +\frac{1}{m^2}<2$$

$$\left(r_0+\frac{1}{m}\right)^2<2$$

$r_0+1/m \in V^{\prime}$이고 $r_0+1/m>r_0$이다. 이것은 $r_0$가 최대 원소라는 가정에 모순이다.

$V$는 $V^{\prime}$가 2번 꼴인 반직선이다. 유리수 반직선이 아닌 것을 찾았으므로 유리수는 완비가 아니다.

$\blacksquare$

교재에 따라 완비를 다르게 정의하기도 하지만 내용은 크게 다르지 않다. 

증명에 나오는 집합 $V$와 $V^{\prime}$을 '데데킨트 절단(Dedekind cut)'으로 부른다. 이것으로 유리수 반직선을 실수 반직선으로 확장한다. 

실수는 완비이다. 완비는 기하적으로 실수인 점으로 이루어진 구간은 완전하게 빈틈이 없다는 뜻으로 해석할 수 있다. 유리수로 이루어진 직선 위의 점은 조밀하지만 완비는 아니다. 서로 다른 유리수 사이엔 반드시 무리수가 존재한다.