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유리수는 완비(complete)가 아니다::::수학과 사는 이야기

유리수는 완비(complete)가 아니다

수학이야기 2023. 1. 16. 17:18
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해석학 책에 있는 일부를 옮겨 놓는다.

정의

유리수 집합에서 반직선(ray)은 다음과 같은 성질을 만족하는 유리수 Q의 부분집합 UQ이다.

(a) xU이고 y>x이면 yU이다.

(b) U는 첫째 원소가 존재하지 않는다.


U의 원소가 아닌 모든 유리수의 집합을 U=QU라고 하면 두 가지 경우가 있다.

1. U가 가장 큰 원소 x0를 가진다.

2. U가 가장 큰 원소를 가지지 않는다.


만약 U가 가장 큰 원소 r0를 가진다면 

U={xQ|x>r0}이다.

r이 유리수라면 {xQ|x>r}와 같은 꼴인 집합은 1번 꼴인 반직선임은 쉽게 보일 수 있다. 1번 꼴인 반직선을 유리수 반직선으로 부른다.

어떤 체 F의 모든 반직선이 1번 꼴이라면 F완비(complete)라고 부른다.

정리 유리수 Q는 완비가 아니다.

증명 V={xQ|x>0,x2>2}라고 하자.

  • 먼저 V가 반직선임을 보이자.

1이 아닌 모든 자연수는 V의 원소이므로 VQ.

xV이고 y>x라고 하자.

y>0이므로 y2>xy>x2>2이다. 따라서 yV.     (a)

이제 x0V의 첫째 원소라고 하면 x0>0이고 x02>0이다.

따라서 아래와 같은 성질을 만족하는 자연수 n이 존재한다.

n>2x0x022,1n<x0222x0

그러면

x022>2x0n

정리하면

x022x0n>2

이다. 

x022x0n+1n2>2

이므로 

(x021n)2>2

이다. (2)에 따라서

x01n>x0x0222x0=x02+22x0>0

이다. 따라서 x01/nV인데 x01/n<x0이므로 모순이다.

V는 첫째 원소가 존재하지 않는다.    (b)

그러므로 V는 반직선이다.

  • 이제 V이 최대 원소를 가지지 않음을 보이자.

r0V의 최대 원소라고 하자.

1V이므로 r0>1이다. r0>0이고 r022이다. r02이므로 r02<2이다.

위에서와 마찬가지로 다음을 만족하는 자연수 m이 존재한다.

m>2r0+12r02,1m<2r022r0+1

이제

2r0+1m<2r02

모든 자연수 k에 대하여 1/k21/k이므로

2r0m+1m2<2r0m+1m<2r02

r02+2r0m+1m2<2

(r0+1m)2<2

r0+1/mV이고 r0+1/m>r0이다. 이것은 r0가 최대 원소라는 가정에 모순이다.

VV가 2번 꼴인 반직선이다. 유리수 반직선이 아닌 것을 찾았으므로 유리수는 완비가 아니다.

교재에 따라 완비를 다르게 정의하기도 하지만 내용은 크게 다르지 않다. 

증명에 나오는 집합 VV'데데킨트 절단(Dedekind cut)'으로 부른다. 이것으로 유리수 반직선을 실수 반직선으로 확장한다. 

실수는 완비이다. 완비는 기하적으로 실수인 점으로 이루어진 구간은 완전하게 빈틈이 없다는 뜻으로 해석할 수 있다. 유리수로 이루어진 직선 위의 점은 조밀하지만 완비는 아니다. 서로 다른 유리수 사이엔 반드시 무리수가 존재한다.

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