유리수는 완비(complete)가 아니다
수학이야기 2023. 1. 16. 17:18해석학 책에 있는 일부를 옮겨 놓는다.
유리수 집합에서 반직선(ray)은 다음과 같은 성질을 만족하는 유리수 Q의 부분집합 U⊂Q이다.
(a) x∈U이고 y>x이면 y∈U이다.
(b) U는 첫째 원소가 존재하지 않는다.
U의 원소가 아닌 모든 유리수의 집합을 U′=Q−U라고 하면 두 가지 경우가 있다.
1. U′가 가장 큰 원소 x0를 가진다.
2. U′가 가장 큰 원소를 가지지 않는다.
만약 U′가 가장 큰 원소 r0를 가진다면
r이 유리수라면 {x∈Q|x>r}와 같은 꼴인 집합은 1번 꼴인 반직선임은 쉽게 보일 수 있다. 1번 꼴인 반직선을 유리수 반직선으로 부른다.
어떤 체 F의 모든 반직선이 1번 꼴이라면 F는 완비(complete)라고 부른다.
증명 V={x∈Q|x>0,x2>2}라고 하자.
1이 아닌 모든 자연수는 V의 원소이므로 ∅≠V⊂Q.
x∈V이고 y>x라고 하자.
y>0이므로 y2>xy>x2>2이다. 따라서 y∈V. ⋯⋯ (a)
이제 x0가 V의 첫째 원소라고 하면 x0>0이고 x02>0이다.
따라서 아래와 같은 성질을 만족하는 자연수 n이 존재한다.
그러면
정리하면
이다.
이므로
이다. (2)에 따라서
이다. 따라서 x0−1/n∈V인데 x0−1/n<x0이므로 모순이다.
V는 첫째 원소가 존재하지 않는다. ⋯⋯ (b)
그러므로 V는 반직선이다.
r0가 V′의 최대 원소라고 하자.
1∈V′이므로 r0>1이다. r0>0이고 r02≤2이다. r0≠2이므로 r02<2이다.
위에서와 마찬가지로 다음을 만족하는 자연수 m이 존재한다.
이제
모든 자연수 k에 대하여 1/k2≤1/k이므로
r0+1/m∈V′이고 r0+1/m>r0이다. 이것은 r0가 최대 원소라는 가정에 모순이다.
V는 V′가 2번 꼴인 반직선이다. 유리수 반직선이 아닌 것을 찾았으므로 유리수는 완비가 아니다.
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교재에 따라 완비를 다르게 정의하기도 하지만 내용은 크게 다르지 않다.
증명에 나오는 집합 V와 V′을 '데데킨트 절단(Dedekind cut)'으로 부른다. 이것으로 유리수 반직선을 실수 반직선으로 확장한다.
실수는 완비이다. 완비는 기하적으로 실수인 점으로 이루어진 구간은 완전하게 빈틈이 없다는 뜻으로 해석할 수 있다. 유리수로 이루어진 직선 위의 점은 조밀하지만 완비는 아니다. 서로 다른 유리수 사이엔 반드시 무리수가 존재한다.
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