레온하르트 오일러
수학이야기/수학자 2023. 1. 27. 11:02
Leonhard Euler(1707.4.15.~1783.9.18.)
레온하르트 오일러는 스위스 바젤에서 태어나 러시아 상트페테르부르크에서 죽었다. 불행하게도 말년에 시력을 잃었지만 타고난 천재성과 부지런함으로 어린 나이에 인정을 받고 성공가도를 달렸다. 바젤 대학에 입학한 1720년은 14살이었고 학위를 받은 때는 1723년이었다. 1726년 베젤 대학에서 공부를 마치고 1727년 파리아카데미에서 상을 받았고 같은 해에 러시아 상트페테르부르크 대학의 물리학과장이 되었다.
그가 수학과 물리학에 남긴 업적은 너무 많아서 한꺼번에 나열하기 어렵다. 해석 기하, 삼각법, 기하학, 정수론에 능통했다. 수학을 전공하면 곳곳에서 오일러라는 이름으로 불리는 공식과 상수를 만난다. 그 가운데 오일러 공식은 세상에서 가장 아름다운 수식이라고 일컬어진다.
$$e^{i\pi}+1=0$$
이 공식에 들어있는 자연 로그의 밑인 $e$도 네이피어가 먼저 사용하였지만 오일러가 $e$로 나타내기 시작하면서 이름이 정해졌다. 함수를 $f(x)$, 허수 단위를 $i$, 원주율을 $\pi$로, 합을 $\sum$로 나타내기 시작했다. 기호 $\Delta y, \;\;\Delta^2 y$도 그가 만든 표기법이다.
$$\operatorname {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\tag{1}$$
$$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad (\operatorname {Re} z>0)\tag{2}$$
$$\varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\tag{3}$$
(1) $\beta$-함수 (2) $\Gamma$-함수 (3) $\varphi$ 또는 $\Pi$-함수는 그가 소개한 함수이다.
가우스의 소수 정리와 관련된 $\zeta$-함수는 리만 제타 함수로 불리는데 오일러가 제타함수의 함숫값을 구했다.
$$ \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$$
베젤 문제로 불리는 $\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$는 스승인 야곱 베르누이를 비롯한 요한 베르누이, 다니엘 베르누이를 포함한 당대 최고 수학자도 해결하지 못했다. 라이프니츠, 스털링, 드므아브르도 성공하지 못했지만 1735년 오일러가 해결했다.
$$ \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
멈추지 않고 계속해서 함숫값을 구하고 마침내 1737년 제타-함수와 소수의 관계를 증명하였다.
$$\begin{split}&\zeta (4)=\frac{1}{90}\pi^4,\;\zeta (6)=\frac{1}{945}\pi^6,\;\zeta (8)=\frac{1}{9450}\pi^8\\&\zeta (10)=\frac{1}{93555}\pi^{10},\;\zeta (12)=\frac{691}{638512875}\pi^{12}\end{split}$$
$$ \zeta (s)=\sum \frac{1}{n^s}=\prod \frac{1}{1-p^{-s}}$$
1735년 오일러 상수 $\gamma$로 수렴하는 무한급수를 발표했다.
$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\log_{e}n$$
$\gamma$의 값을 소수점 아래 16자리까지 계산하였다.
매크로린과 같은 증명을 했지만 먼저 연구를 시작한 매크로린에게 양보하는 아량을 갖추고 있었고 음악에도 조예가 깊었다고 전해진다. 스위스 지폐에 얼굴이 나오기도 했다.
