자연수 세제곱의 합을 그림으로!

자연수 세제곱을 더한 값을 그림으로 그리면 아래와 같다. 그림이 생각만큼 깔끔하게 나오지 않아서 아쉽다.

$$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =(1+2+3+\cdot+n)^2$$

$$4(1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 )=(n^2+n)^2$$

$$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =\frac{1}{4}n^2(n+1)^2=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$$

 

$$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$$

$$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =\frac{1}{2}\times n(n+1)\times \frac{1}{2}n(n+1)=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$$

사각수 그림도 하나 더 덧붙인다.

\begin{split}1\\1+2+1=2^2\\1+2+3+2+1=3^2\\1+2+3+4+3+2+1=4^2\end{split}

$$1+2+3+\cdots+(n-1)+n+(n-1)+\cdots+3+2+1=n^2$$

자연수 세제곱의 합을 알아보자.

$$\begin{split}\sum_{k=1}^{4} k^3 &=1^3 +2^3 +3^3 +4^3 \\&=1+2(1+2+1)+3(1+2+3+2+1)+4(1+2+3+4+3+2+1)\\&=1+(2+4+2)+(3+6+9+6+3)+(4+8+12+16+12+8+4)\end{split}$$

그림과 같이 더하는 순서를 다시 배열하면 오른쪽에 있는 식을 모두 더한 것과 같다.

$$\begin{split}(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+4(1+2+3+4)\\=(1+2+3+4)(1+2+3+4)\end{split}$$

$$\therefore \sum_{k=1}^{4} k^3 =(1+2+3+4)^2 =\bigg( \sum_{k=1}^{4} k \bigg)^2$$이다.

자연수 세제곱의 합은 이를 일반화하면 된다.

$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \bigg( \sum_{k=1}^{n} k \bigg)^2 = \bigg( \frac{1}{2} n(n+1) \bigg)^2$$